Fagstoff

Den deriverte

Den deriverte til en funksjon viser oss hvor raskt funksjonen endrer seg. Derivasjon brukes mye i matematikk og i andre realfag.

Koordinatsystem med grafen til f av x. Denne er blå. Punktet A parentes x komma f av x parentes slutt og punktet B parentes x pluss delta x komma f parentes x pluss delta x parentes slutt parentes slutt er merket på grafen. Ei rød linje går gjennom punktet A, og ei grønn linje går gjennom punktet A og punktet B. Skjermutklipp.

På figuren har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ (blå kurve). Vi ønsker å finne den momentane vekstfarten til funksjonen $f$ i punktet $A (x, f (x))$ .

Vi gir $x$ et tillegg $Δ x$ og får et nytt punkt $B$ på grafen:

$B (x + Δ x, f (x + Δ x))$

Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene $A$ og $B$ .

Vi regner ut stigningstallet $a$ til denne linja.

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{(x + Δ x) - x} = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittlig vekstfart fra $A$ til $B$ .

Prøv selv

Vi lar nå punktet $B$ nærme seg punktet $A$ . Vi lar altså $Δ x$ gå mot null. På den interaktive figuren nedenfor kan du dra i punktet $B$ . Hva skjer når du drar punktet mot punktet $A$ ?

Når punktet $B$ dras mot punktet $A$ , vil sekanten (grønn) gradvis nærme seg til å bli en tangent (rød linje) til grafen i punktet $A$ .

Stigningstallet til denne tangenten forteller hvor fort grafen vokser akkurat i punktet $A$ . Vi kaller dette stigningstallet for den momentane vekstfarten eller den deriverte til $f$ i punktet A. Vi skriver $f^{'} (x)$ og leser det som "f derivert av x". Legg merke til tegnet for den deriverte, en liten apostrof på $f$ : $f^{'}$ .

Den deriverte

Vi ser på grafen ovenfor.

$f^{'} (x)$ er den verdien $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$ nærmer seg mot når $Δ x$ går mot null.

Definisjon:

$f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet.

Den deriverte i et punkt og den momentane vekstfarten i punktet er det samme.

Fra denne definisjonen av den deriverte i et punkt $(x, f (x))$ kan vi definere en ny funksjon $f^{'}$ der vi til hver $x$ tilordner verdien $f^{'} (x)$ . På denne måten har funksjonen $f$ generert en ny funksjon $f^{'}$ . Derfor kalles denne for den deriverte funksjonen.

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist faglig oppdatert 04.05.2021

Den deriverte

Prøv selv

Den deriverte

Regler for bruk