Ulikheter med logaritmeuttrykk

Når vi løser likninger med logaritmer, utnytter vi at to tierpotenser med like eksponenter er like.

Eksempel

$\begin{array}{rcl} \lg x& = & 2\\ & & \\ {10}^{\lg x}& =& {10}^2 \mathrm{To} \mathrm{tierpotenser} \mathrm{med} \mathrm{like} \mathrm{eksponenter} \mathrm{er} \mathrm{like}.\\ & & \\ x& =& 100\end{array}$

Vi vet at funksjonen $f$ gitt ved $$ f\left(x\right)={10}^x $$ vokser i hele definisjonsområdet. Det vil si at hvis $$ a>b$$, så er $$ {10}^a>{10}^b$$, og tilsvarende hvis $a<b$, så er $$ {10}^a<{10}^b$$. Dette får vi bruk for når vi skal løse ulikheter med logaritmeuttrykk.

Så prøver vi oss på en tilsvarende ulikhet.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rlllll}\lg x& <& 2& & & x \mathrm{må} \mathrm{v\ae re} \mathrm{større} \mathrm{enn} 0.\\ & & & & & \\ {10}^{\lg x}& <& {10}^2& & & a<b\iff {10}^a<{10}^b\\ & & & & & \\ x& <& 100& & & \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{definisjonen} \mathrm{på} \mathrm{logaritme} \mathrm{og} \\ & & & & & \mathrm{forenkler} \mathrm{venstre} \mathrm{side}.\end{array} \\ \end{gathered}$$

Løsningen blir

$x\in ⟨0, 100⟩$

$$ \begin{array}{rccccl}\lg x^2+2\lg x-2& >& 0& & & x \mathrm{må} \mathrm{v\ae re} \mathrm{større} \mathrm{enn} 0.\\ & & & & & \\ 2\lg x+2\lg x& >& 2& & & \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{tredje} \mathrm{logaritmesetning}.\\ & & & & & \\ 4\lg x& >& 2& & & \\ & & & & & \\ \lg x& >& \frac{1}{2}& & & \\ & & & & & \\ {10}^{\lg x}& >& {10}^{\frac{1}{2}}& & & a>b\iff {10}^a>{10}^b\\ & & & & & \\ x& >& \sqrt{10}& & & \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{definisjonen} \mathrm{på} \mathrm{logaritme} \mathrm{og}\\ & & & & & \mathrm{forenkler} \mathrm{på} \mathrm{venstre} \mathrm{side}.\end{array}$$

Løsningen blir

$x\in \langle \sqrt{10}, \to \rangle$

$$ \begin{array}{rlllll}\lg (x+2)-\lg \left(2\right)& <& 2& & & x \mathrm{må} \mathrm{v\ae re} \mathrm{større} \mathrm{enn} -2.\\ & & & & & \\ \lg \left(\frac{x+2}{2}\right)& <& 2& & & \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{andre} \mathrm{logaritmesetning} \mathrm{baklengs}.\\ & & & & & \\ {10}^{\lg \left(\frac{x+2}{2}\right)}& <& {10}^2& & & a<b\iff {10}^a<{10}^b\\ & & & & & \\ \frac{x+2}{2}& <& 100& & & \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{definisjonen} \mathrm{på} \mathrm{logaritme} \mathrm{og} \\ & & & & & \mathrm{forenkler} \mathrm{venstre} \mathrm{side}.\\ x+2& <& 200& & & \\ & & & & & \\ x& <& 198& & & \end{array}$$

Løsningen blir

$x\in \langle -2, 198\rangle$

$\begin{array}{rcllll}\lg x+\lg \left(5-x\right)& ⩾ & \lg 6& & & x \mathrm{må} \mathrm{v\ae re} \mathrm{større} \mathrm{enn} 0 \mathrm{og} \mathrm{mindre} \mathrm{enn} 5.\\ & & & & & \\ \lg \left(x·\left(5-x\right)\right)& ⩾& \lg 6& & & \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{første} \mathrm{logaritmesetning} \mathrm{baklengs}.\\ & & & & & \\ {10}^{ \lg \left(x·\left(5-x\right)\right)}& ⩾& {10}^{\lg 6}& & & a⩾b\iff {10}^a⩾{10}^b\\ & & & & & \\ x·\left(5-x\right)& ⩾& 6& & & \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{definisjonen} \mathrm{på} \mathrm{logaritme} \mathrm{og}\\ & & & & & \mathrm{forenkler} \mathrm{venstre} \mathrm{side}.\\ -x^2+5x-6& ⩾& 0& & & \end{array}$

Setter

$-x^2+5x-6=0 \Rightarrow x=\frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{-2} \Rightarrow x_1=2 , x_2=3$

Ulikheten blir da slik:

$-\left(x-2\right)\left(x-3\right)⩾0$

Et fortegnsskjema gir oversikten. Legg merke til at vi bare lager fortegnsskjema fra 0 til 5.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Løsningen blir

$x\in \left[2, 3\right]$

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved $$ f\left(x\right)=\lg x+\lg \left(5-x\right)$$ (utrykket på venstre side i ulikheten ovenfor). I tillegg har vi tegnet den vannrette linja $$ y=\lg 6$$ (høyre side i ulikheten).

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Vi ser også grafisk at $$ \lg x+\lg \left(5-x\right)⩾\lg 6 $$ for $x\in \left[2,3\right]$.

Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

Vi ønsker å løse andregradsulikheten $$ {\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3<0 , x>0$$.

Først løser vi likningen ${\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3=0$. Vi bruker igjen metoden med variabelskifte ved å sette $$ u=\lg x$$.

$$ \begin{array}{rcl}u& = & \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2·1}\\ & & \\ u& =& \frac{-2\pm 4}{2} \mathrm{Siden} u=\lg x:\\ & & \\ \lg x& =& 1 \vee \lg x=-3\\ & & \\ x& =& {10}^1 \vee x={10}^{-3}\\ & & \\ x& =& 10 \vee x=0,001\end{array}$$

Grafen til funksjonen $f$ gitt ved $$ f\left(x\right)={\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3 $$ er sammenhengende, derfor er det bare i nullpunktene at uttrykket $$ {\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3 $$ kan skifte fortegn.

Vi tar «stikkprøver» i intervallene $⟨0, 0.001⟩$, $⟨0.001, 10⟩$ og $⟨10, \to ⟩$, og lager fortegnsskjema.

For $$ x=0,0001 $$ får vi

$$ \begin{array}{rcl}{\left(\lg 0,0001\right)}^2& +& 2 \lg 0,0001-3\\ & =& {\left(-4\right)}^2+2·\left(-4\right)-3\\ & =& 16-8-3\\ & =& 5\end{array} $$

Uttrykket er positivt.

For $$ x=1 $$ får vi

${\left(\lg 1\right)}^2+2\lg 1-3=0^2+2·0-3=-3$

Uttrykket er negativt.

For $$ x=100 $$ får vi

${\left(\lg 100\right)}^2+2 \lg 100-3=3^2+2·2-3=5$

Uttrykket er positivt.

Nedenfor har vi illustrert dette i et fortegnsskjema.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Løsning: $$ (\lg x{)}^2+2\lg x-3<0 $$ når $$ x\in ⟨0.001, 10⟩$$

Nedenfor har vi tegnet grafen til uttrykket ${\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3$. Det er vanskelig å finne begge nullpunktene i samme bildet. Vi har derfor først tegnet grafen og funnet det ene nullpunktet $\left(10, 0\right)$, så har vi tegnet et forstørret bilde av grafen i et lite område for å finne det andre nullpunktet $\left(0.001, 0\right)$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Vi ser av grafene at løsningen stemmer.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

Ved CAS i GeoGebra får vi samme løsning.