Hopp til innhold

Fagstoff

Eksponentiallikninger

Hvordan løser vi likninger av typen aˣ = b?

Likninger med potensuttrykk der eksponenten er ukjent, kalles eksponentiallikninger. Vi kan bruke logaritmesetningene til å løse slike likninger.

Gitt eksponentiallikningen

$a^{x} = b$

Siden logaritmen til to like tall er like, er

$\lg a^{x} = \lg b$

Tredje logaritmesetning gir da at

$x \lg a = \lg b$

Det gir løsningen på eksponentiallikningen:

$x = \frac{\lg b}{\lg a}$

Her kan vi også like gjerne bruke den naturlige logaritmen.

Eksempel 1

Vi skal løse likningen

$2^{3 x - 1} = 16$

Vi løser likningen ved å bruke logaritmesetningene:

$\begin{array}{rcl} \lg (2^{3 x - 1}) & = & \lg 16 \\ (3 x - 1) lg2 & = & {lg2}^{4} \\ 3 x - 1 & = & \frac{4 lg2}{lg2} \\ 3 x & = & 5 \\ x & = & \frac{5}{3} \end{array}$

Eksempel 2

Fire norske tohundrelapper. Foto.

Anne har plassert 1 000 kroner på en konto i banken. På 2000-tallet kunne renta være 6,0 prosent per år. Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?

Vi finner vekstfaktoren først.

Når en størrelse øker med $p$ prosent, er vekstfaktoren $1 + \frac{p}{100}$ .

Vekstfaktoren blir

$1 + \frac{6}{100} = 1, 06$

Vi kan da sette opp følgende likning der $x$ er tida pengene må stå i banken:

$1 000 \cdot 1, 06^{x} = 2 \cdot 1 000$

Vi forsøker å løse likningen ved å bruke logaritmesetningene.

$\begin{array}{rcl} 1 000 \cdot 1, 06^{x} & = & 2 \cdot 1 000 \\ 1, 06^{x} & = & \frac{2 000}{1 000} \\ 1, 06^{x} & = & 2 \\ \lg 1, 06^{x} & = & \lg 2 \\ x \cdot \lg 1, 06 & = & \lg 2 \\ x & = & \frac{\lg 2}{\lg 1, 06} \end{array}$

Her må vi bruke et digitalt verktøy, eller en logaritmetabell, for å få en tilnærmet verdi. I praktiske oppgaver løser vi derfor eksponentiallikninger i et CAS-verktøy.

CAS-løsning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet inn 1000 multiplisert med 1,06 opphøyd i x er lik 2000. Svaret med N Løs er x er lik 11,9. Skjermutklipp.

Ved CAS i GeoGebra får vi det tilnærmede svaret 11,9 som løsning på likningen.

Pengene må altså stå i omtrent 12 år i banken før beløpet er fordoblet.

Grafisk løsning av eksponentiallikningen i eksempelet med GeoGebra. Grafen til funksjonen f av x er lik 1000 multiplisert med 1,06 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 16. Linja y er lik 2000 er også tegnet. Skjæringspunktet mellom linja og grafen til f er markert og har koordinatene 11,9 og 2000. Skjermutklipp.

Vi kan også løse likningen grafisk. I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = 1 000 \cdot 1, 06^{x}$ og linja $y = 2000$ og løst likningen $f (x) = 2 000$ grafisk.

Video: //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen

Eksempel 3

Vi antar at innbyggertallet i Småby vokser med 1,5 prosent hvert år. Det bor i dag 13 000 personer i Småby. Hvor mange år går det før innbyggertallet er 15 000?

Vi finner først vekstfaktoren.

$1 + \frac{1, 5}{100} = 1, 015$

Så setter vi opp og løser likningen $13 000 \cdot 1, 015^{x} = 15 000$ med CAS i GeoGebra.

CAS-løsning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet inn 13000 multiplisert med 1,015 opphøyd i x er lik 15000. Svaret med N Løs er x er lik 9,61. Skjermutklipp.

Innbyggertallet vil være 15 000 om snaue 10 år.

Eksempel 4

Bruktbiler med prislapp i frontrutene. Foto. — Hvor mange år vil det gå før bilens verdi er halvert?

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 prosent hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.

Når en verdi avtar med $p$ prosent, er vekstfaktoren $1 - \frac{p}{100}$ .

Vekstfaktoren blir

$1 - \frac{10}{100} = 0, 90$

Bilens verdi, $V (x)$ , $x$ antall år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved

$V (x) = 200 000 \cdot 0, 90^{x}$

Grafisk løsning av eksponentiallikningen i eksempelet med GeoGebra. Grafen til funksjonen V av x er lik 200000 multiplisert med 0,9 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom minus 4 og 13. Linja y er lik 100000 er også tegnet. Punktet på grafen til V med x-koordinat minus 4 har y-koordinat 304831,58. Skjæringspunktet mellom linja og grafen til V er markert og har koordinatene 6,58 og 100000. Skjermutklipp.

Av grafen til $V$ kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, det vil si når $x = - 4$ , altså da den var ny, var nærmere 305 000 kroner.

Vi skal også se hvordan vi kan regne ut dette med CAS i GeoGebra.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet V av x kolon er lik 200000 multiplisert med 0,9 opphøyd i x. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet V av x er lik 100000. Svaret med Løs er l n 2 delt på parentes l n 2 pluss l n 5 minus l n 9 parentes slutt. På linje 3 er det skrevet dollartegn 2. Svaret med tilnærming er x er lik 6,58. På linje 4 er det skrevet V av minus 4. Svaret med tilnærming er 304831,58. Skjermutklipp.

På linje 1 skriver vi inn funksjonen $V (x)$ . Så regner vi ut hvor lang tid det går før bilens verdi har sunket til 100 000 kroner ved å løse likningen $V (x) = 100 000$ . Vi løser likningen eksakt med "Løs" først og trykker på knappen "tilnærmet lik" etterpå for å få svaret i linje 2 som et enkelt tall.

Til slutt på linje 4 regner vi ut hvor mye bilen var verdt for 4 år siden.

Vi får det samme svaret som vi fant grafisk.

I eksempel 5 skal vi se litt på en annerledes eksponentiallikning.

Eksempel 5

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot 3^{x} & = & 3 \cdot 4^{x} \\ \lg (2 \cdot 3^{x}) & = & \lg (3 \cdot 4^{x}) \\ \lg 2 + \lg 3^{x} & = & \lg 3 + \lg 4^{x} \\ \lg 2 + x \cdot \lg 3 & = & \lg 3 + x \cdot \lg 4 \\ x \cdot \lg 3 - x \cdot \lg 4 & = & \lg 3 - \lg 2 \\ x (\lg 3 - \lg 4) & = & \lg 3 - \lg 2 \\ x & = & \frac{\lg 3 - \lg 2}{\lg 3 - \lg 4} \end{array}$

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte være greit når vi arbeider med teoretiske problemstillinger.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 2 multiplisert med 3 opphøyd i x er lik 3 multiplisert med 4 opphøyd i x. Svaret med Løs er x er lik parentes l n 2 minus l n 3 parentes slutt delt på parentes 2 l n 2 minus l n 3 parentes slutt. På linje 3 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 1,41. Skjermutklipp. — Eksakt og tilnærmet løsning på eksponentiallikningen i eksempelet

I praktiske oppgaver som eksemplene 2, 3 og 4, er det vanlig å bruke tilnærmingsverdier. Utklippet fra CAS i GeoGebra viser hvordan vi først løser likningen eksakt og deretter finner tilnærmingsverdien ved å trykke på knappen "tilnærmet lik", eller skriver $1 på linja under den eksakte løsningen. (Hva betyr det?) Legg merke til at GeoGebra bruker den naturlige logaritmen "ln" i stedet for den briggske logaritmen "lg". Det kunne vi også gjort da vi regnet ut svaret manuelt over.

Oppgave

Det er to andre forskjeller også mellom svaret med den manuelle, eksakte utregningen og det eksakte svaret med CAS. Hva er forskjellene?

Forklaring

Rekkefølgen på leddene i teller og nevner i brøken er byttet om. Hvorfor spiller ikke det noen rolle?
I CAS-løsningen er $\ln 4$ gjort om til $2 \ln 2$ . Vis at de to uttrykkene er det samme.

Eksempel 6

Noen likninger inneholder flere ledd med potensuttrykk, som for eksempel

$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} - 12 = 0$

Hva slags likning er dette, og hvordan kan vi løse denne manuelt?

Vi ser at i likningen inngår både 3 opphøyd i $2 x$ og 3 opphøyd i $x$ . Fra potensregningen vet vi at $3^{2 x} = {(3^{x})}^{2}$ . Likningen vår kan da skrives som

${(3^{x})}^{2} - 4 \cdot 3^{x} - 12 = 0$

Vi kaller nå $3^{x}$ for $u$ . Likningen blir da

$u^{2} - 4 \cdot u - 12 = 0$

Nå ser vi at vi har en andregradslikning med $u$ som den ukjente.

Ei jente som tenker. Foto.

Andregradslikningen har løsningen

$\begin{array}{rcl} u^{2} - 4 \cdot u - 12 & = & 0 \\ u & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1} \\ u & = & \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2} \\ u_{1} & = & - 2 u_{2} = 6 \end{array}$

Vi begynte med å sette $3^{x} = u$ . Når vi nå har funnet at $u = - 2 eller u = 6$ , må det bety at $3^{x} = - 2 eller 3^{x} = 6$ .

Løsningen $3^{x} = - 2$ gir ingen mening siden potensen $3^{x}$ alltid er positiv.

Løsningen blir

$3^{x} = 6 \Rightarrow x = \frac{\lg 6}{\lg 3} \approx 1, 6$

Også her kunne vi oppgitt svaret på eksakt form som $x = \frac{\lg 6}{\lg 3}$ .

Metoden her går altså ut på å skifte variabel ved å sette $u = u (x)$ , for å få en enklere likning. Når vi har løst denne og funnet $u$ , må vi gå tilbake og finne $x$ . Vanligvis vil vi løse slike likninger med CAS, men det er viktig å kjenne til denne løsningsteknikken.

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.

Sist faglig oppdatert 04.01.2021

Læringsressurser

Likninger og ulikheter