Den omvendte funksjonen er en funksjon som tar deg tilbake dit du begynte.
Vi ser på funksjonen .
Setter vi tallet 3 inn for x i fx, får vi ut tallet 6: f3=6. På samme måte er f5=10 og f(8)=16.
Finnes det en regneoperasjon som vi kan utføre på alle de tre tallene 6, 10 og 16 for å få dem tilbake til tallene 3, 5 og 8?
Vi kan se at hvis vi setter dem inn i funksjonen gx=x2, får vi de ønskede tallene:
g6=3g10=5g16=8gf3=3gf5=5gf8=8
Generelt får vi at gfx=x. Funksjonen g "gjør godt igjen" det funksjonen f gjør med x.
Vi sier at f og g er omvendte eller inverse funksjoner. Funksjonenfsenderxtil2x, mens den omvendte funksjonen sender2xtilbake tilx.
En vanlig skrivemåte for den omvendte funksjonen tilferf-1.
Det betyr at vi kan skriveg(x)somf-1x.
Generelt gjelder det at f-1fx=x.
I eksempelet ovenfor var det ikke så komplisert å se hva den omvendte, eller inverse, funksjonen måtte være, men vi kan også finne den inverse funksjonen algebraisk.
Vi viser en framgangsmåte du generelt kan bruke for å finne inverse funksjoner. Vi bruker eksempelet ovenfor.
Du setterf(x)=y.Da er y=2x.Det betyr atx=y2.Du løser altså likningen med hensyn påx.Det betyr atf-1y=y2.Sida f-1y=x.
Vi kan nå bytte ymedx, som er den mest vanlige bokstaven for den variable, og vi får funksjonen f-1x=x2.
I GeoGebra kan du finne den omvendte funksjonen ved å bruke kommandoen invers():
Symmetri i omvendte funksjoner
Vi har nedenfor tegnet grafene til funksjonen f(x)=2x og dens omvendte funksjon. Videre har vi tegnet grafen til y=x, et tilfeldig punkt A på denne linja og en normal til linja gjennom punkt A. Vi har også tegnet skjæringspunktene B og C mellom normalen og grafene til f og dens omvendte funksjon.
Flytt punktet A på linja til y=x. Hva oppdager du?
Uansett hvor punktet A befinner seg på linja h, er AB=AC. Det betyr at grafen til f og grafen til den omvendte funksjonen alltid ligger symmetrisk om linja y=x.
Ved å speile grafen til f om linja y=x, får vi grafen til den omvendte funksjonen.
Hvis x,y er et punkt på grafen til f, er y,x et punkt på grafen til den omvendte funksjonen. Disse punktene ligger symmetrisk om y=x.
For eksempel er 2,4 et punkt på grafen til f og 4,2 et punkt på grafen til g. Flytt på punktet A på figuren, og sjekk om det stemmer.
Oppgave
Følg prosedyren ovenfor, og gjør det samme med grafene til funksjonene
gx=x2,Dg=[0,∞⟩
og
hx=x2,Dh=⟨-∞,0]
og deres omvendte funksjoner.
Oppdager du det samme her?
Eksponential- og logaritmefunksjonen
Vi ser på eksponentialfunksjonen
fx=ex,x∈ℝ
og logaritmefunksjonen
gx=lnx,x∈〈0,∞〉
Da er
fgx=flnx=elnx=defx
og
gfx=gex=lnex=x·lne=x·1=x
Dette viser at fx=ex og gx=lnx er omvendte funksjoner.
Prøv å laste ned GeoGebra-arket over og endre funksjonene, så kan du se at det stemmer.
Utforsking av omvendte funksjoner med Python
På oppgavesida Utforsk omvendte funksjoner kan du blant annet bruke Python til å jobbe mer med omvendte funksjoner før du går videre.