Omvendte funksjoner
3.3.10
Vi har gitt funksjonen . Avgjør hvilken av funksjonene nedenfor som er den omvendte funksjonen
1)
2)
3)
4)
Løsning
Det er funksjon nummer 4,
Vi kan vise det slik:
3.3.11
Vi har gitt funksjonen
a) Fyll ut verditabellen under.
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Løsning
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ||
---|---|---|---|---|---|---|
-10 | -6 | -2 | 2 | 6 |
b) Fyll ut verditabellen under uten å regne ut den omvendte funksjonen.
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
Løsning
Vi bruker at den omvendte funksjonen og funksjonen selv er symmetrisk om linja
-10 | -6 | -2 | 2 | 6 | |
---|---|---|---|---|---|
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
c) Regn ut den omvendte funksjonen, og sjekk at du får tabellen i b).
Løsning
Vi finner først den omvendte funksjonen:
Så regner vi ut alle funksjonsverdiene i tabellen:
d) Tegn inn alle punktene fra tabellene i a) og b) i et koordinatsystem sammen med linja
Løsning
Vi observerer at for hvert par av punkter er avstanden fra punktet til linja lik.
3.3.12
a) Vis ved regning at funksjonen
Løsning
Vi har at
Vi får da at
som var det vi skulle vise.
b) Lag glidere for
3.3.13
Finn de omvendte funksjonene til funksjonene under for hånd og ved hjelp av GeoGebra. Tegn grafene til funksjonen og den omvendte funksjonen, og observer symmetrien:
a)
Løsning
Vi løser ligningen for
Dette gir
I GeoGebra bruker vi kommandoen Invers(f)
og får følgende grafbilde:
b)
Løsning
Her viser vi bare løsningen for hånd.
Vi vet her at både
Vi løser for x igjen:
Vi får altså at
c)
Løsning
Vi viser bare løsningen for hånd.
Vi bruker regelen vi viste i 3.3.12 og får
3.3.14
På teorisida Omvendte funksjoner (ndla.no) finner du et GeoGebra-ark vi har brukt til å utforske omvendte funksjoner. Et slikt kan du lage selv også, og her kan du bruke det til å utforske andre logaritmefunksjoner enn den naturlige logaritmen. (Denne oppgaven er utforskende og har ikke løsningsforslag)
- I GeoGebra kan du definere tallet a som en "glider". Så kan du definere funksjonene
oga x , logaritmefunksjonen medlog a x som grunntall.a - Hvilke grunntall er mulige?
- Undersøk geometrisk i GeoGebra om du får nye par av omvendte funksjoner. Hvordan kan du vise geometrisk at funksjonene er omvendte av hverandre?
- Hvilket grunntall utenom
er du kjent med fra tidligere?e - Vis algebraisk at eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen du får med dette grunntallet, er omvendte funksjoner.