Én-entydige funksjoner
3.3.20
Undersøk om funksjonene under er én-entydige og dermed har en omvendt funksjon. Finn den omvendte funksjonen hvis det er mulig.
a)
Løsning
Vi deriverer:
Vi ser at den deriverte er ei rett linje som vil krysse
Dette betyr at funksjonen ikke er én-entydig.
b)
Løsning
Vi gjør som i a) og deriverer:
I dette tilfellet får vi en derivert som alltid er positiv, og som bare er 0 i ett punkt. Da vil funksjonen være strengt voksende og dermed én-entydig.
Vi kan finne den omvendte funksjonen:
c)
Løsning
Her får vi, som i a), en derivert som vil skifte fortegn i punktet
d)
Løsning
I dette tilfellet får vi, som i b), en derivert som alltid er positiv, og som bare er 0 i ett punkt. Da vil funksjonen være strengt voksende og dermed én-entydig.
Vi kan finne den omvendte funksjonen:
e)
Løsning
Vi ser at den deriverte vil være negativ for alle
Vi kan finne den omvendte funksjonen:
Vi legger merke til at denne funksjonen er sin egen invers!
f)
Løsning
Som i e) har vi en funksjon som ikke er definert for
3.3.21
a) Kan du ved å se på svarene du fikk i oppgave 3.3.20 si noe generelt om hva som skal til for at funksjonen
Løsning
Vi ser at dersom
b) Bruk funksjonen invers()
i GeoGebra på funksjonene i a), c) og f) fra 3.3.20. Hva observerer du, og hva betyr dette for vårt forhold til GeoGebra?
Løsning
Vi observerer at GeoGebra finner en invers funksjon til alle disse funksjonene, selv om vi i vår utregning har vist at den inverse funksjonen ikke finnes. Vi observerer også at GeoGebra velger et intervall for den inverse funksjonen, i alle disse tilfellene velger GeoGebra
Dette minner oss om at vi ikke alltid kan stole blindt på GeoGebra, men at vi må følge godt med og bruke våre egne matematikkunnskaper i tillegg til svarene GeoGebra gir oss.
3.3.22
Vi har gitt funksjonen
a) Vis at
Løsning
Vi deriverer og viser at den deriverte er ei rett linje som skifter fortegn fra positiv til negativ i
b) Vil
Løsning
Ja, i intervallet
c) Vil
Løsning
Nei, i dette intervallet vil den deriverte skifte fra negativ til positiv, og dermed er funksjonen ikke én-entydig.
d) Kan du dele
Løsning
Vi fant nullpunktet til den deriverte i a). Vi deler funksjonen i dette punktet. Vi kan velge om vi vil legge nullpunktet til den deriverte til
e) Finn funksjonsuttrykkene til de omvendte funksjonene
Løsning
Vi ser at definisjonsmengden til begge de omvendte funksjonene må være
Vi setter
Vi har altså funnet de to uttrykkene som er de omvendte funksjonene.
Vi har at
For å vise at dette stemmer, setter vi inn 1 i
Vi ser her at det er den øverste av de to som tar oss tilbake igjen til den opprinnelige
f) Tegn grafene til de to funksjonene
Løsning
Vi tegner inn de to funksjonene og husker å avgrense dem til større enn
g) Gjør det samme for
Løsning
Vi gjør som i f):