Logistisk vekst

Vi har fra sida Eksponentialfunksjonen som modell at eksponentialfunksjonen passer bra for utviklingen av en ørretbestand i et vann etter kalking de første årene. Etter noen år viste imidlertid den reelle utviklingen seg å avvike sterkt fra den utviklingen eksponentialfunksjonen viste. Veksten viste seg å stoppe opp mens modellen viser en vekst som bare øker og øker.

Vi ser derfor om utviklingen i ørretbestanden passer bedre med en logistisk modell.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen

Vi legger dataene fra den utvidede tabellen (se sida Eksponentialfunksjon som modell) inn i regnearket i GeoGebra. Vi merker cellene og klikker på knappen for regresjonsanalyse.

Nå velger vi "Logistisk" som regresjonsmodell.

Vi ser at den logistiske modellen $g$ gitt ved

$g\left(x\right)=\frac{27,62}{1+6,85·e^{-0,4x}}$

passer godt med de observerte verdiene helt fram til 2010.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Vi overfører grafen til $$ g$$ til grafikkfeltet sammen med punktene vi får fra tabellen.

CC BY-NC-SA

Bilde: Bård Løken

Grafen faller godt sammen med punktene, og $g$ er sannsynligvis også en modell som kan si noe om utviklingen av ørretbestanden videre.

I funksjonsuttrykket vil leddet $6,85·e^{-0,4x}$ i nevneren gå mot null når $x$ blir veldig stor. Det betyr at etter modellen kan den maksimale ørretbestanden ikke overskride 27 620 individer. Dette er bæreevnen for ørretvannet.

En generell form for en funksjon som beskriver en logistisk modell er

$$ f\left(x\right)=\frac{B}{1+a·e^{-kx}}$$

der konstantene $$ B, a$$ og $$ k$$ er positive størrelser.

Spørsmål

Hvorfor vil funksjonen $$ f\left(x\right)$$ nærme seg verdien $$ B$$ når $x$ blir veldig stor?

Tallet $B$ viser hva den maksimale verdien av $f\left(x\right)$ kan være.

Hvis funksjonen beskriver veksten til en populasjon, kalles $B$ for bæreevnen til populasjonen.

Logistiske vekstkurver kan ofte brukes for å beskrive hvordan antall individer i en populasjon endrer seg. Antall individer øker raskt i starten, men ytre faktorer fører etter hvert til at veksten avtar, og populasjonen når en maksimal størrelse.

CC BY-NC-SA

Bilde: Mike Kollöffel

Bæreevnen $B$ for et område forteller hvor mange individer av en art som kan leve i det aktuelle området over lengre tid.

Antall bakterier i en bakteriekultur kan ofte beskrives med logistiske vekstmodeller.