Hopp til innhold

Oppgave

Smittespredning og R-tall

Hvor raskt sprer smitte seg i en befolkning? R-tallet er et mål på det.

LK20

Du kan gjøre oppgavene både før og etter at du har prøvd spillet "Smitteutbrudd i Kongsland!".

Spillet "Smitteutbrudd i Kongsland!"

I spillet får du oppleve et smitteutbrudd. Oppgaven er å gjennomføre tiltak for å hindre at smitten brer seg og samtidig unngå at tiltakene får for store konsekvenser for økonomien og befolkningens tillit til myndighetene.

I spillet er det gått ut ifra at hvert tiltak virker uavhengig av andre tiltak som blir gjennomført samtidig. Dette er en forenkling og ikke nødvendigvis slik det ville ha fungert i det virkelige liv.

Hva er R-tallet?

Kvinne har på seg et munnbind og sitter og ser ut av vinduet. Foto.

I forbindelse med koronapandemien har det blitt snakket mye om det såkalte R-tallet eller reproduksjonstallet. Man skiller mellom basalt reproduksjonstall og effektivt reproduksjonstall. Her vil vi ikke gå inn på disse forskjellene. For oss holder det å vite at er hvor mange nye smittede i gjennomsnitt én smittet person klarer å smitte i en befolkning.

Oppgave 1

Vi tenker oss nå at 4 personer har vært på ferie i utlandet. De får symptomer på sykdom. Etter ei uke hjemme er 10 nye personer smittet med den samme sykdommen.

a) Hvor mange nye smittede ble det i gjennomsnitt per smittet person i den første uka?

Løsning

Vi må dele antall nye smittede på de 4 som var smittet i første runde.

104=2,5

Hver smittet person smittet i gjennomsnitt 2,5 nye personer i løpet av den første uka. En annen måte å si det på er at det er i gjennomsnitt 2,5 nye smittede per smittet person.

b) Vi ønsker å se nærmere på antall nye smittede etter ei uke.

Hva blir vekstfaktoren for økningen i antall nye smittede?

Tips til oppgaven

Husk hvordan vi bruker vekstfaktoren:

Ny verdi = gammel verdi · vekstfaktor

Løsning

Vi regner ut vekstfaktoren ved å ta ny verdi og dele på gammel verdi. Dette blir nøyaktig samme regnestykke som i oppgave a).

Vekstfaktoren for økningen i antall nye smittede er 2,5.

c) Hva blir R-tallet for denne utviklingen i smitte?

Løsning

Vi har regnet ut R-tallet i oppgave a) (og b)). R-tallet for denne utviklingen er 2,5.

d) Hva betyr det at R-tallet er større enn 1?

Løsning

At R-tallet er større enn 1, betyr at vekstfaktoren for endringen i antall nye smittede er større enn 1. Det betyr at hver smittet person i gjennomsnitt smitter mer enn 1 ny person. Det betyr at det blir flere antall nye smittede enn i forrige runde, som igjen betyr at smitten øker.

e) Hvorfor opererer vi med ei uke her?

Forklaring

Vi har egentlig antatt at en smittet person er smitteførende i ei uke. Etter det vil ikke personen kunne smitte andre.

f) Hvor mange nye smittede vil det bli i løpet av den andre uka dersom R-tallet hele tida er 2,5?

Løsning

Her kan vi regne med vekstfaktor på vanlig måte. For hver uke øker antall nye smittede med en faktor 2,5. Antall nye smittede i løpet av den andre uka blir

10·2,5=25

Alternativt kan vi ta utgangspunkt i de 4 som var smittet først og multiplisere med vekstfaktoren 2 ganger siden det går 2 uker.

4·2,5·2,5=4·2,52=25

Det vil bli 25 nye smittede i løpet av den andre uka.

g) Hvor mange nye smittede vil det bli i løpet av den 5. uka dersom R-tallet hele tida er 2,5?

Løsning

Vi regner med vekstfaktor på vanlig måte, som betyr at for hver uke øker antall nye smittede med en faktor 2,5. Antall nye smittede i løpet av den 5. uka blir

4·2,55=391

h) Hvor lang tid tar det før antall nye smittede passerer 10 000?

Tips til oppgaven

Studer eksemplene 4 og 5 i artikkelen "Vekstfaktor".

Løsning

Vi setter opp en likning der antall nye smittede etter x uker er lik 10 000 og løser oppgaven med CAS i GeoGebra.

4·2,5x=10 000

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 4 multiplisert med 2,5 opphøyd i x er lik 10000. Svaret med N Løs er x er lik 8,54. Skjermutklipp.

Etter den niende uka vil antall nye smittede ha passert 10 000 dersom R-tallet er 2,5.

R-tallet og tiltak mot smittespredning

Under koronapandemien innførte alle land tiltak for å redusere R-tallet, det vil si tiltak mot smittespredning.

Hvorfor ble slike tiltak gjennomført?

Forklaring

Tiltakene ble i hovedsak gjennomført for at det ikke skulle bli for mange smittede samtidig, noe som betyr at mange får behov for å bli innlagt på sykehus samtidig, og sykehuskapasiteten kan fort bli sprengt. I starten visste vi ikke heller helt sikkert hvor farlig sykdommen var.

Du kan lese mer om dette i artikkelen "Smittespredning – modeller".

Oppgave 2

I pandemispillet har du rollen som ansvarlig for å innføre tiltak mot økende smitte. I spillet vil for eksempel tiltaket krav om munnbind gi en reduksjon i R-tallet på 20 prosent, ifølge informasjonen i spillet.

a) Dersom R-tallet er 2,5, hva forventer man at R-tallet vil bli ved å innføre krav om munnbind?

Løsning

En reduksjon på 20 prosent betyr at vekstfaktoren for endring i R-tallet er

1-20100=1-0,2=0,8

Det nye R-tallet blir da

2,5·0,8=2,0

b) Dersom myndighetene i spillet krever at R-tallet skal reduseres fra 2,5 til 1,5, hvor mange prosent må R-tallet reduseres?

Løsning

Vi regner ut vekstfaktoren for endringen, som er ny verdi delt på gammel verdi.

1,52,5=0,6

Klarer du å se hvilken prosentvis nedgang som gir en vekstfaktor på 0,6? Vi kan regne det ut ved å sette dette inn i formelen for vekstfaktor ved en nedgang, og vi setter x lik den ukjente prosenten vi skal finne.

1-x100 = 0,6-x100 = 0,6-1x100·100 = 0,4·100x = 40

Vi kan også løse likningen med CAS.

En nedgang i R-tallet fra 2,5 til 1,5 gir en vekstfaktor på 0,6, noe som tilsvarer 40 prosents nedgang. R-tallet må reduseres med 40 prosent.

Som ansvarlig for å innføre tiltak mot smittespredning kan du på et tidspunkt i spillet velge blant disse tiltakene:

Tiltak

Reduksjon i R-tall

Håndhygiene

10 %

Stenge ned restauranter og barer

15 %

Stenge ned skoler

20 %

Krav om munnbind

20 %

Krav om kontinuerlig nedvasking

5 %

Reiserestriksjoner

10 %

c) Holder det å stenge ned skoler og innføre krav om munnbind dersom R-tallet skal reduseres med 40 prosent? Forklar.

Løsning

Selv om summen av prosenttallene for tiltakene stenge ned skoler og krav om munnbind er 40, gir disse tiltakene mindre enn 40 prosents reduksjon i R-tallet. Vi kan forklare dette slik:

20 prosents reduksjon i R-tallet for tiltaket stenge ned skoler betyr at hver smittet person i gjennomsnitt smitter 20 prosents færre andre personer. En ny 20 prosents reduksjon på grunn av tiltaket krav om munnbind gir en ny 20 prosents reduksjon av et allerede redusert R-tall. Dette gjelder i alle fall om tiltakene innføres med lang nok tid etter hverandre, og som en tilnærming sier vi at dette gjelder også om tiltakene innføres samtidig.

Det betyr videre at vi først får en 20 prosents reduksjon for det ene tiltaket, for deretter å få en ny 20 prosents reduksjon for det andre. Vekstfaktoren for 20 prosents reduksjon er 0,8. Total vekstfaktor for de to endringene blir

0,8·0,8=0,64

En (total) vekstfaktor på 0,64 tilsvarer en (total) prosentvis nedgang på 36 prosent.

d) Holder det å innføre krav om kontinuerlig nedvasking i tillegg til de to andre tiltakene for at reduksjonen skal bli på 40 prosent totalt sett?

Løsning

Tiltaket krav om kontinuerlig nedvasking gir 5 prosents reduksjon i R-tallet, noe som betyr en vekstfaktor på 0,95. Den totale vekstfaktoren for de tre tiltakene blir

0,64·0,95=0,608

Den totale vekstfaktoren kan maksimalt være 0,6 for at det skal være en reduksjon på minst 40 prosent. Det vil si at det bare nesten holder med disse tre tiltakene.

e) Hva blir vekstfaktoren dersom du velger et tiltak som gir 10 prosents reduksjon i R-tallet (for eksempel tiltaket håndhygiene) sammen med de to tiltakene 20 prosent? Er det det nok til å gi en reduksjon i R-tallet på minst 40 prosent?

Løsning

Vekstfaktoren for tiltaket håndhygiene blir 0,9. Den totale vekstfaktoren blir

0,64·0,9=0,576

Den totale vekstfaktoren er mindre enn 0,6, og da er reduksjonen i R-tallet større enn 40 prosent.

Oppgave 3

a) Vi antar at R-tallet er 1,25. Styresmaktene krever at det innføres tiltak som gjør at R-tallet reduseres med minst 0,3. Hvor mange prosent reduksjon i R-tallet tilsvarer dette?

Løsning

Her skal vi finne ut hvor mange prosent 0,3 er av 1,25.

0,31,25·100 %=24 %

Reduksjonen i R-tallet må være på minst 24 prosent.

b) I tabellen nedenfor har vi en tom kolonne med overskriften "Vekstfaktor". Fyll ut tabellen. Velg deretter tiltak fra tabellen som gjør at reduksjonen i R-tallet blir minst 24 prosent, men helst ikke så mye mer enn det. (Husk at folk blir sure dersom det innføres for mange og strenge tiltak.)

Tiltak

Reduksjon i R-tall

Vekstfaktor

Håndhygiene

10 %

Stenge ned restauranter og barer

15 %

Stenge ned skoler

20 %

Krav om munnbind

20 %

Krav om kontinuerlig nedvasking

5 %

Reiserestriksjoner

10 %

Løsning

Tiltak

Reduksjon i R-tall

Vekstfaktor

Håndhygiene

10 %

0,9

Stenge ned restauranter og barer

15 %

0,85

Stenge ned skoler

20 %

0,8

Krav om munnbind

20 %

0,8

Krav om kontinuerlig nedvasking

5 %

0,95

Reiserestriksjoner

10 %

0,9

Vi må i alle fall velge minst to tiltak. Først prøver vi om det holder med tiltak der summen av prosenttallene er 25.

Tiltak

Total vekstfaktor

Prosent reduksjon i R-tallet

Håndhygiene og stenge ned restauranter og barer

0,9·0,85=0,765

1-0,765·100 %=23,5 %

Håndhygiene, krav om kontinuerlig nedvasking og reiserestriksjoner

0,9·0,95·0,9=0,7695

1-0,7695·100 %=23,05 %

Vi kan kombinere prosenttall på 10 og 15 eller prosenttall på 10, 5 og 10 for at summen av prosenttallene skal bli 25. Vi ser at ingen av disse kombinasjonene av tiltak gir stor nok reduksjon i R-tallet. Da må vi velge tiltak der summen av prosenttallene er 30.

Tiltak

Total vekstfaktor

Prosent reduksjon i R-tallet

Håndhygiene og stenge ned skoler

0,9·0,8=0,72

1-0,72·100 %=28 %

Håndhygiene, stenge ned restauranter og barer og krav om kontinuerlig nedvasking

0,9·0,85·0,95=0,72675

1-0,72675·100 %=27,33 %

Vi kan kombinere prosenttall på 10 og 20 eller prosenttall på 10, 15 og 5 for at summen av prosenttallene skal bli 30. Begge disse tiltakene gir mer enn 24 prosents reduksjon i R-tallet, men det er kombinasjonen av tiltak med prosenttallene 10, 15 og 5 som kommer nærmest kravet om 24 prosents reduksjon.

Oppgave 4

På et tidspunkt er det 36 nye smittede. R-tallet er 1. Styresmaktene krever nå at antall nye smittede i neste uke skal være mindre enn 21.

Hva må R-tallet være da? Velg tiltak for å oppnå dette etter tabellen nedenfor. Som i oppgaven over gjelder det å ikke innføre strengere tiltak enn nødvendig.

Tiltak

Reduksjon i R-tall

Sosial distansering

15 %

Portforbud

40 %

Stenge kollektivtransport

5 %

Lockdown

70 %

Reiserestriksjoner

20 %

Løsning

Vi begynner med å finne det nye R-tallet, som er lik hvor mange personer i gjennomsnitt hver smittet person klarer å smitte.

R-tallet =2136=0,583

Vi må finne ut hvor mange prosent R-tallet har endret seg. Vi finner først vekstfaktoren for endringen, som er nytt R-tall delt på gammelt R-tall.

0,5831=0,583

Legg merke til at siden det opprinnelige R-tallet var 1, ble vekstfaktoren for endringen i R-tall lik det nye R-tallet.

Så må vi finne ut hvor mange prosent denne vekstfaktoren tilsvarer.

1-x100 = 0,583-x100 = 0,583-1x100·100 = 0,417·100x = 41,7

En vekstfaktor på 0,583 betyr at R-tallet synker med 41,7 prosent. Så mye må R-tallet synke for at kravet til styresmaktene skal oppfylles.

De tre tiltakene som gir lavest reduksjon i R-tallet, har sum prosenttall 15+5+20=40. Det vil i alle fall ikke være nok til å etterkomme kravet om 41,7 prosents reduksjon. Vi må altså velge enten portforbud eller lockdown. Med lockdown kommer vi langt over det som er krevd, så vi satser først på kombinasjonen portforbud (vekstfaktor 0,6) og stenge kollektivtransport (vekstfaktor 0,95). Den totale vekstfaktoren blir

0,6·0,95=0,57

Dette tilsvarer en reduksjon i R-tallet på

1-0,57·100 %=43 %

Da har vi fått en reduksjon i R-tallet som er litt større enn det som er krevd. Andre kombinasjoner av tiltak vil gi større reduksjon (og kanskje mer misnøye i befolkningen).

Sist oppdatert 29.04.2022
Skrevet av Bjarne Skurdal

Læringsressurser

Prosent og prosentvis vekst