Andre matematiske bevis
1.3.20
I denne oppgaven skal vi bruke et epsilon-delta-bevis for å bevise
Vi må altså vise at det for ethvert tall
a) Vis at
Løsning
Legg merke til at vi ikke trenger å beholde absoluttegnet i nevneren siden dette uttrykket alltid vil være positivt. Rota av et tall er jo alltid positiv, og summen av to positive tall er også alltid positiv.
b) Forklar at
Løsning
Gitt to brøker med positiv teller og nevner der telleren er lik, vil brøken med størst nevner gi det minste resultatet.
Vi har at
c) Sett
Løsning
Vi har at
Uttrykket til venstre kjenner vi igjen fra b), så vi kan konkludere med at
d) Forklar hvordan det vi nå har funnet, beviser at
Løsning
Hvis vi kan finne et tall
1.3.21
a) Vis at ekvivalensen
Løsning
Vi starter med å gå fra venstre til høyre og vise implikasjonen
Vi har i alle tilfeller at
Forklaring: Vi ganger med
Vi har også i alle tilfeller at
Forklaring: Dersom
Hvis vi nå setter venstre side i ekvivalensen som forutsetning og setter sammen de to sammenhengene, får vi
Dermed har vi også at
Vi skal nå vise at
Vi har at
Ifølge forutsetningen har vi at
Vi har dermed bevist at
b) Vis at
Tips til oppgaven
Vi har for alle reelle tall
Det betyr at vi har vist ulikheten over dersom vi kan vise at uttrykket
Løsning
Vi har at
Så vi kan fortsette:
Hvis vi nå tar rota av begge sider, har vi vist sammenhengen:
c) Vis at
Løsning
Vi legger merke til at ulikhetstegnet står motsatt vei, og vi bruker den samme strategien som i b):
Dette gir
Q.e.d.
1.3.22
I fagartikkelen "Pytagoras' setning" finner du et geometrisk bevis for Pytagoras' setning om trekanter. Det finnes mange slike. Et av dem er tilskrevet en av USAs tidligere presidenter, president James A. Garfield. Det tar utgangspunkt i figuren, som er satt sammen av tre rettvinklede trekanter. Bruk figuren til å bevise Pytagoras' setning.
Tips
Figuren er et trapes med parallelle sider
Løsning
Vi regner først ut arealet ved hjelp av formelen for areal av trapes:
Så regner vi ut arealet av trapeset ved å legge sammen arealene til de tre trekantene:
Disse to uttrykkene må være like hverandre siden vi regner ut arealet av den samme firkanten:
Q.e.d.