Grunnleggende om logikk og bevisføring
Hvis du har jobbet lite med bevisføring tidligere, anbefaler vi at du først jobber med 1T-oppgavesiden "Implikasjon, ekvivalens og noen matematiske bevistyper".
1.3.1
Avgjør om ekvivalensene gjelder. Dersom ekvivalensen ikke gjelder, undersøk om det finnes en implikasjon en av veiene.
a) er faktor i
Løsning
Vi beviser implikasjonen fra høyre mot venstre med et direkte bevis:
Vi setter
Dette gir
Dermed har vi bevist at
Vi viser at implikasjonen fra venstre mot høyre ikke gjelder ved et moteksempel:
Vi ser at 4 er en faktor i
b)
Løsning
Den ene delen av beviset er den samme som i a), så vi har at
Her gjelder også implikasjonen den andre veien. Vi beviser dette med et kontrapositivt bevis og beviser påstanden:
Vi faktoriserer
Vi ser at alle primtallsfaktorene i
Dermed gjelder ekvivalensen.
c)
Løsning
Vi sjekker implikasjonen begge veier:
Fra venstre mot høyre:
Vi sjekker fra høyre mot venstre:
Vi ser at vi har implikasjon begge veier, og ekvivalensen gjelder.
d)
Løsning
Vi sjekker først fra venstre mot høyre:
Denne implikasjonen holder. Så sjekker vi fra høyre mot venstre:
Vi ser at vi får to ulike mulige løsninger, så vi har ikke implikasjon fra høyre mot venstre.
Ekvivalensen holder ikke.
1.3.2
Bevis at
Løsning
Vi følger mønsteret fra teorisiden og beviser dette ved å anta det motsatte for så å komme fram til en selvmotsigelse. Vi starter med å sette
Dette betyr at dersom
Vi har nå kommet fram til at
1.3.3
a) Bevis at summen av tre påfølgende tall alltid er delelig med 3.
Tips
Kall det første tallet for
Løsning
Vi kaller det første tallet for
Her ser vi at 3 er en faktor i summen uavhengig av hvilket tall vi har startet med, og dermed har vi bevist at summen av tre påfølgende tall alltid er delelig med 3.
b) Vis at summen av
Løsning
Her holder det å finne et moteksempel. For eksempel er ikke
1.3.4
Bevis at summen av to oddetall er et partall.
Løsning
Vi setter det ene oddetallet lik
Vi ser at dette kan skrives på formen
1.3.5
Bevis at produktet av to oddetall er et oddetall.
Løsning
Vi setter det ene oddetallet lik
Uttrykket som står inne i parentesen i nederste linje, er et heltall, og det betyr at produktet er på formen