Grunnleggende om logikk og bevisføring

Vi beviser implikasjonen fra høyre mot venstre med et direkte bevis:

Vi setter $$ a = k·m$$.

Dette gir

$$ a^2 = {\left(k·m\right)}^2=k^2·m^2$$

Dermed har vi bevist at

$$ k$$ er faktor i $$ a$$    $$ \Rightarrow $$   $$ k$$ er faktor i $$ a^2$$

Vi viser at implikasjonen fra venstre mot høyre ikke gjelder ved et moteksempel:

$$ a^2=36, k =4$$

$$ \begin{array}{rcl}{a}^2 & =& 36\\ & =& 4·9\\ a & =& \sqrt{36}\\ & =& 6\\ & =& 2·3\end{array}$$

Vi ser at 4 er en faktor i $$ a^2$$ uten å være en faktor i $$ a$$.

Den ene delen av beviset er den samme som i a), så vi har at

$$ k$$ er faktor i $$ a$$    $$ \Rightarrow $$   $$ k$$ er faktor i $$ a^2$$

Her gjelder også implikasjonen den andre veien. Vi beviser dette med et kontrapositivt bevis og beviser påstanden:

$$ k$$ er ikke faktor i $$ a$$   $$ \Rightarrow $$   $$ k$$ er ikke faktor i $$ a^2$$

Vi faktoriserer $$ a$$ i alle primtallfaktorene tallet inneholder. Husk at ingen av disse faktorene kan være $$ k$$, og heller ikke kan produktet av noen av disse faktorene være $$ k$$. Noen kan være like, men det behøver vi ikke skille mellom.

$$ \begin{array}{rcl}a & =& p_1·p_2·p_3 · ... ·p_n\\ & \Downarrow & \\ a^2 & =& {p_1}^2·{p_2}^2·{p_3}^2 · ... · {p_n}^2\\ & & \end{array}$$

Vi ser at alle primtallsfaktorene i $$ a^2$$ kan finnes igjen i $$ a$$. Så lenge $$ k$$ ikke inneholder kvadratet av en av $$ p$$-faktorene, kommer vi aldri i den situasjonen at $$ k$$ er faktor i $$ a^2$$, men ikke i $$ a$$. For eksempel vil $$ k={p_1}^2·p_2$$ være faktor i $$ a^2$$, men ikke i $$ a$$ (dersom ingen av de andre faktorene i $$ a$$ er lik $$ p_1$$). Ingen av primtallsfaktorene i $$ k$$ kan derfor være like. Dermed har vi bevist at dersom $$ k$$ ikke er en faktor i $$ a$$, er $$ k$$ heller ikke faktor i $$ a^2$$ når $$ k$$ ikke har et kvadrattall som faktor.

Dermed gjelder ekvivalensen.

Vi sjekker implikasjonen begge veier:

Fra venstre mot høyre:

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{5+x} & =& 2\\ & \Downarrow & \\ 5+x & =& 4\\ & \Updownarrow & \\ x & =& 4-5\\ & \Updownarrow & \\ x & =& -1\end{array}$$

Vi sjekker fra høyre mot venstre:

$$\begin{gathered} \sqrt{5+\left(-1\right)}=\sqrt{4}=2 \\ \end{gathered}$$

Vi ser at vi har implikasjon begge veier, og ekvivalensen gjelder.

Vi sjekker først fra venstre mot høyre:

$$ (4-3{)}^2 = 1^2 = 1$$

Denne implikasjonen holder. Så sjekker vi fra høyre mot venstre:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(x-3\right)}^2 & =& 1\\ x^2-6x+9-1 & =& 0\\ x^2-6x+8 & =& 0\\ \left(x-4\right)\left(x-2\right) & =& 0\\ x & =& 4 \vee x = 2\end{array}$$

Vi ser at vi får to ulike mulige løsninger, så vi har ikke implikasjon fra høyre mot venstre.

Ekvivalensen holder ikke.

Vi følger mønsteret fra teorisiden og beviser dette ved å anta det motsatte for så å komme fram til en selvmotsigelse. Vi starter med å sette $$ \sqrt{2} = \frac{a}{b}$$, der $$ a$$ og $$ b$$ ikke har felles faktorer:

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{2} & =& \frac{a}{b}\\ & \Downarrow & \\ 2 & =& \frac{a^2}{b^2}\\ & \Updownarrow & \\ a^2 & =& 2b^2\end{array}$$

Dette betyr at dersom $$ \sqrt{2}=\frac{a}{b}$$, er $$ a^2$$ et partall. Det betyr at også $$ a$$ er et partall, og vi kan skrive $$ a=2k$$:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(2k\right)}^2 & =& 2b^2\\ & \Updownarrow & \\ 4k^2 & =& 2b^2\\ & \Updownarrow & \\ b^2 & =& 2k^2\end{array}$$

Vi har nå kommet fram til at $$ b^2$$, og dermed også $$ b$$, er et partall. Men dette innebærer at både $$ a$$ og $$ b$$ inneholder faktoren 2, noe som er en selvmotsigelse. Vi har dermed bevist at $$ \sqrt{2}$$ ikke kan være et rasjonalt tall. Det innebærer at $$ \sqrt{2}$$ er irrasjonalt.

Kall det første tallet for $$ k$$.

Vi kaller det første tallet for $$ k$$, det andre for $$ k+1$$ og det tredje for $$ k+2$$. Vi legger sammen og får

$$ k+k+1+k+2=3k+3=3(k+1)$$

Her ser vi at 3 er en faktor i summen uavhengig av hvilket tall vi har startet med, og dermed har vi bevist at summen av tre påfølgende tall alltid er delelig med 3.

Her holder det å finne et moteksempel. For eksempel er ikke $$ 3+4+5+6 = 18$$ delelig med 4.

Vi setter det ene oddetallet lik $$ 2m+1$$ og det andre oddetallet lik $$ 2n+1$$. Vi finner summen:

$$ \begin{array}{rcl}2m+1+2n+1 & =& 2m+2n+2\\ & =& 2(m+n+1)\end{array}$$

Vi ser at dette kan skrives på formen $$ 2k$$, altså har vi et partall.

Vi setter det ene oddetallet lik $$ 2n+1$$ og det andre lik $$ 2m+1$$. Så finner vi produktet:

$$ \begin{array}{rcl}\left(2n+1\right)\left(2m+1\right) & =& 2n·2m+2n·1+1·2m+1·1\\ & =& 4nm+2n+2m+1\\ & =& 2\left(2nm+n+m\right)+1\end{array}$$

Uttrykket som står inne i parentesen i nederste linje, er et heltall, og det betyr at produktet er på formen $$ 2k+1$$ og dermed et oddetall.