Grunnleggende om logikk og bevisføring
I emnet "Implikasjon, ekvivalens og noen matematiske bevistyper" i 1T kunne du lære det mest grunnleggende om matematisk bevisføring. I denne artikkelen vil vi gjenta noe av det som står der og også gå gjennom en ny type bevis.
Implikasjon og ekvivalens
Vi ser på de to matematiske utsagnene:
Vi kan si at dersom
Dette utsagnet leser vi som "
Symbolet "
Er det sånn at
Svar
Ja, det er det. Dersom det er sant at
I en slik situasjon der vi kan si at implikasjonen går begge veier, har vi det vi kaller for en ekvivalens. Vi har et eget symbol for dette, ei ekvivalenspil, som er en kombinasjon av de to implikasjonspilene. Vi kan skrive
Dette leses som "
Vi ser på to nye utsagn:
Hvilke av utsagnene under er sanne? Tenk nøye gjennom det før du klikker på boksen.
p ⇒ q q ⇒ p q ⇐ p p ⇐ q p ⇔ q
Svar
De rette utsagnene er 2 og 4. Disse to utsagnene er egentlig det samme utsagnet, som sier at "
Vi har at
Men hvorfor har vi ikke implikasjon den andre veien? Vi løser likningen i utsagn
Her ser vi at dersom
Når vi skal sjekke om vi har ekvivalens, må vi huske å sjekke om implikasjonen går begge veier!
Ulike typer bevis
Det finnes mange måter å føre matematiske bevis på. I 1T fikk du lære om direkte bevis, kontrapositive bevis og bevis med moteksempel. Du kan lese mer om disse bevistypene i artikkelen "Noen matematiske bevistyper". Direkte bevis er nok det du har møtt mest av, og som regel er det det du har gjort i oppgaver der det står "vis at ...". I R2 skal du få møte flere former for bevis, blant annet induksjonsbevis, som kommer i en senere artikkel.
Bevis ved selvmotsigelse
Her skal vi vise en bevistype som vi kan kalle bevis ved selvmotsigelse. Det innebærer at vi i stedet for å bevise at noe er sant, prøver å bevise at det motsatte er sant. Mot slutten av beviset vil vi da komme fram til en selvmotsigelse, og det opprinnelige utsagnet er bevist.
Påstand:
Hva betyr det at et tall er irrasjonalt, igjen?
Et rasjonalt tall er et tall som kan skrives som en brøk med hele tall i telleren og nevneren. Det vil si at et irrasjonalt tall er et tall som ikke kan skrives som en brøk med hele tall i telleren og nevneren.
To vanlige eksempler på irrasjonale tall er
Vi ønsker å bevise at
Vi starter med å sette opp det første uttrykket, og så jobber vi oss nedover med implikasjoner og ekvivalenser:
For at
Forklaring
Hvis to tall skal være like, må de også bestå av de samme faktorene. Det betyr at
Merk at vi nå hele tida snakker om heltallige røtter.
Siden 3 er en faktor i
Nå har vi vist at også