Eksponentiell vekst

Vekstfaktoren for en økning på 2,0 prosent er

$$ 1+\frac{2}{100}=1+0,02=1,02$$

Beløpet på 5 000 skal multipliseres med vekstfaktoren 10 ganger. Med CAS får vi

Etter 10 år og når pengene har stått urørt på kontoen med den samme renta, har han 6 094,97 kroner i banken.

Vi kan sette opp følgende likning der $x$ er antall år pengene må stå i banken:

$$ 5 000·1,{02}^x=5 500$$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Pengene må stå i banken i nesten fem år før det står 5 500 kroner på kontoen.

I løpet av 5 dager øker antall nye smittede med en faktor på 2,4. Dette blir derfor det samme som vekstfaktoren.

Vi finner prosenten med CAS.

Økningen i antall smittede i løpet av 5 dager er på 140 prosent.

Perioden 20–25 dager etter at den første personen ble smitteførende, tilsvarer den 5. smitterunden. Det betyr at antall nye smittede har økt med en faktor på $$ 2,4^5$$. Antall nye smittede i denne perioden blir derfor

I perioden 20–25 dager etter at den første personen ble smitteførende, ble cirka 80 personer smittet.

Hvis vi regner at to måneder er 60 dager, blir antall perioder $$ \frac{60}{5}=12$$.

Etter to måneder er antall nye smittede cirka 36 500.

Vi lar $$ x$$ stå for antall perioder med vekst og kan sette opp en likning som vi kan løse med CAS. Vi multipliserer svaret med 5 for å få antall dager og deler på 30 for å få antall måneder.

Antall nye smittede passerer 1 million litt over halvveis i den tredje måneden etter at den første personen ble smitteførende.

Her må vi finne vekstfaktoren for én dag når vekstfaktoren for 5 dager er 2,4. Det betyr at vekstfaktoren for én dag skal multipliseres med seg selv 5 ganger, og at resultatet skal bli 2,4. Hvis vi kaller den ukjente vekstfaktoren for én dag $$ x$$, vil dette gi oss likningen $$ x^5=2,4$$.

Fra én dag til den neste øker antall smittede med 19,1 prosent. En formel for antall smittede etter $$ x$$ dager er

$$ 1,{191}^x$$

Vi vet at antallet nye smittede øker med mer enn det dobbelte etter en periode på 5 dager. Men vi vet ikke om antallet nye smittede er mer enn dobbelt så stort som det totale antallet som er eller har vært smittet fra før.

Vi setter Norges befolkning til 5 millioner. Vi kan i alle fall si at når antall nye smittede passerer 5 millioner, er hele befolkningen smittet. Dette gir oss likningen

$$ 1·2,4^x=5 000 000$$

GeoGebra klarte ikke å løse likningen med "NLøs", så vi brukte "Løs" og lagde en tilnærming til svaret i linje 2. Resultatet betyr at etter den 18. perioden vil det i teorien være over 5 millioner nye smittede. I linje 3 sjekker vi derfor hvor mange nye smittede det blir etter den 17. femdagersperioden, og det er godt over halvparten av Norges befolkning. Da vil omtrent alle være smittet i løpet av 17 femdagersperioder. Dette er 105 dager, eller cirka tre og en halv måned.