Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell

De ulike kombinasjonene er G1G2, G1J1, G1J2, G2J1, G2J2 og J1J2.

Det er bare én mulighet for 2 jenter: J1J2. De seks utfallene har lik sannsynlighet, dermed får vi at:

$$ P\left(\mathrm{J}1\mathrm{J}2\right)=\frac{1}{6}$$

Det er fire av de seks kombinasjonene som gir én av hver:

$$ P\left(\mathrm{en} \mathrm{av} \mathrm{hver}\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Vi setter den stokastiske variabelen $$ X$$ lik antall jenter.
Vi har da $$ n=4, m=2$$ og $$ r=2$$.

b)
$$ P\left(X=2\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)}=\frac{1·1}{6}=\frac{1}{6}$$

c)
$$ P\left(X=1\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)}=\frac{2·2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Vi velger hypergeometrisk fordeling i GeoGebra med populasjon lik 4, $$ n=2$$ og utvalg lik 2:

b)

c)

b)

1from scipy.stats import hypergeom #importerer generatoren
2
3tojenter = hypergeom.pmf(2,4,2,2)  #legger inn stokastisk variabel, antall elever, antall jenter og antall som skal trekkes totalt
4
5print(tojenter) skriver ut sannsynligheten

c)

1from scipy.stats import hypergeom
2
3tojenter = hypergeom.pmf(1,4,2,2)
4
5print(tojenter)

Kjør programmene for å få svaret.

a) Vi legger inn i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra med populasjon lik 30, $$ n=16$$ og utvalg lik 4. Vi velger intervallet $$ 4\le X\le 4$$ og får at sannsynligheten for 4 jenter er 0,0664.

b) Vi bruker samme fordeling, men velger nå intervallet $$ 0\le X\le 0$$ og får at sannsynligheten for ingen jenter, altså 4 gutter, er 0,0365.

c) Det er flere jenter enn gutter i klassen, derfor er det mer sannsynlig å trekke bare jenter enn bare gutter.

d) Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren som i a) og b), velger intervallet $$ 2\le X\le 2$$ og får at sannsynligheten for 2 av hver er 0,3985.

Her må vi utvide formelen for hypergeometrisk fordeling og trekke fra en mengde med fire ulike elementer. Vi definerer hendelsen $$ A$$:

$$ A$$: Trekke én av hvert av de fire slagene.

$$ P\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 4\end{array}\right)}\approx 0,105$$

Vi kan løse dette i CAS i GeoGebra slik:

Her deler vi kortstokken i to ulike elementer: hjerter og ikke hjerter. Vi får da $$ n=52, m=13, r=4$$ og $$ k=4$$:

$$ P\left(A=4\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 4\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}39\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 4\end{array}\right)}\approx 0,0026$$

Vi bruker hypergeometrisk fordeling med elementer av tre typer: ruter, spar og annet. Vi definerer $$ B$$: 2 ruter og 2 spar:

$$ P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}26\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 4\end{array}\right)}\approx 0,022$$

Her blir det som i a) fire ulike elementer. Vi definerer hendelsen $$ C$$:

$$ C$$: å trekke 2 spar, 2 ruter, 3 hjerter og 1 kløver

$$ P\left(C\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 3\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 8\end{array}\right)}\approx 0,03$$