Modellering med kjent funksjon
FM-1
Ved en bedrift blir det produsert treningsdresser. Ledelsen ved bedriften har funnet ut at overskuddet i kroner er gitt ved funksjonen , der
Hvor mange treningsdresser er det mest lønnsomt for bedriften å produsere per år, og hvor stort blir overskuddet da?
Løsning
"Mest lønnsomt" betyr at vi må finne den globale maksimumsverdien til overskuddsfunksjonen. Vi regner ut den deriverte og dobbeltderiverte til overskuddsfunksjonen.
Vi setter
Den dobbeltderiverte er alltid negativ, og den deriverte er lik null for
Det er mest lønnsomt for bedriften å produsere 500 treningsdresser per år, og da blir overskuddet 60 000 kroner.
Kommentar: Vi vet egentlig fra før at en andregradsfunksjon med negativt tall foran andregradsleddet har ett og bare ett stasjonært punkt som alltid er et toppunkt.
Løsning med CAS:
FM-2
Anders kaster en stein rett opp i lufta. Høyden til steinen over bakken målt i meter etter
a) Finn ved regning når steinen er i sitt høyeste punkt, og hvor høyt den er akkurat da.
Løsning
Det høyeste punktet betyr at vi leter etter den globale maksimalverdien. Funksjonen er en andregradsfunksjon med negativt tall foran andregradsleddet. Da trenger vi ikke å bruke dobbeltderiverttesten siden vi vet at vi har ett toppunkt og at den globale maksimalverdien er der.
Vi løser oppgaven med CAS.
Steinen er i sitt høyeste punkt etter 2,6 s. Steinens maksimale høyde er 31,9 m.
b) Når lander steinen på bakken?
Løsning
Når steinen lander på bakken, er høyden lik null. Vi må finne nullpunktet til funksjonen.
Det første nullpunktet er i starten av kastet. Steinen lander etter 5,1 s.
c) Hva blir definisjonsmengden og verdimengden til funksjonen
Løsning
Kastet starter ved
Verdimengden blir de mulige høydene steinen kan ha. Den laveste høyden er 0, og den største høyden fant vi var 31,9 m. Verdimengden blir
d) Finn et uttrykk for farten til steinen. Hva slags måleenhet får farten?
Løsning
Farten til steinen er lik den deriverte til høyden (vekstfarten til høyden i forhold til tida).
Siden enheten på
e) Regn ut
Løsning
Tidspunktet
Dette er også den største farten steinen får. Årsaken til det er at uttrykket for farten er ei rett linje der
f) Finn et uttrykk for akselerasjonen til steinen. Hva blir måleenheten for akselerasjonen?
Løsning
Akselerasjonen forteller hvordan farten endrer seg (vokser) med tida og er derfor lik den deriverte av farten (vekstfarten til farten i forhold til tida).
Siden akselerasjonen er den deriverte av farten med hensyn på tida, blir måleenheten til akselerasjonen "meter per sekund per sekund". Akselerasjonen er altså konstant lik
g) Når er fartsendringen til steinen størst?
Løsning
Fartsendring er det samme som akselerasjon. Siden vi har fra den forrige oppgaven at akselerasjonen er konstant, får vi at fartsendringen er den samme under hele kastet.
h) Hvorfor er det litt ulogisk at
Løsning
Når vi kaster en stein, starter ikke kastet fra helt nede på bakken, men fra en høyde som er noe lavere enn høyden til kasteren (litt avhengig av kasteteknikk, kanskje ...). Vi kan kompensere for dette med å legge på et konstantledd på funksjonen
Da må vi huske på at mange av verdiene vi har regnet ut i oppgaven, må finnes på nytt.
i) Vi tenker oss nå at vi endrer funksjonen slik det er foreslått i løsningen til oppgave h). Hvilke tall og størrelser i de andre oppgavene er det som blir uforandret til tross for denne endringen?
Fasit
Både farten
Kontroller at dette stemmer ved å bruke CAS.
FM-3
Nora har en målestav i elva. Hun har notert vannstanden i elva klokka 00.00 hver dag i ei uke.
Hun fant at i intervallet
der
a) Regn ut
Løsning
Svaret i linje 2 betyr at vannstanden klokka 00.00 natt til tirsdag var 62,6 cm. Når
b) Tenk deg at du skal holde en presentasjon der du skal beskrive vannstanden i elva denne uka. Hva vil du trekke fram?
Løsning
Læreplanen sier at du skal bruke derivasjon til å analysere matematiske modeller. Det er derfor viktig at du bruker derivasjon til å analysere monotoniegenskaper og finne eventuelle ekstremalpunkter og vendepunkter og ikke bare regner ut mange funksjonsverdier.
Vi sjekker først om funksjonen har noen nullpunkter. Den ene kandidaten til nullpunkt er utenfor det aktuelle området. Vi kan heller ikke vite hva et nullpunkt egentlig betyr her, for det trenger ikke bety at det ikke er vann i elva, kun at avlesningen på målestaven er null.
Så prøver vi å finne den største og den minste vannstanden. Linjene 5 til 9 gir at funksjonen har et toppunkt for
På tilsvarende måte får vi at den laveste vannstanden var 42,7 cm da målingene startet ved midnatt natt til mandagen.
Vi kan også finne ut når vannstanden steg raskest og sank raskest. Linje 7, 8 og 9 gir at funksjonen har et vendepunkt for
Siden det ikke er flere vendepunkter til grafen, må den stige raskest i ett av endepunktene. Fra linje 10 får vi at vannstanden steg raskest da målingene startet midnatt natt til mandag, og da steg vannstanden med 28 cm per døgn.
Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen
FM-4
Funksjonen
viser temperaturen
Tenk deg at du skal holde en presentasjon der du skal beskrive temperaturutviklingen disse 12 timene. Hva vil du trekke fram?
Løsning
De 12 timene fra midnatt til klokka 12 på formiddagen tilsvarer at vi skal ha
I linje 2 finner vi nullpunktene, som betyr når temperaturen var på
Så prøver vi å finne den høyeste og laveste temperaturen. Linje 3 og 6 viser at funksjonen har et toppunkt for
Vi vil undersøke når temperaturen steg eller sank raskest. Linje 5, 6 og 7 gir at grafen har et vendepunkt for
Da er det i ett av endepunktene at temperaturen steg raskest siden det ikke er flere vendepunkter. Vi får at temperaturen steg raskest klokka 12.00, og da steg temperaturen med 1,4 grader per time.
Nedenfor har vi tegnet grafen til
FM-5
Gitt en sylinder med et volum på én liter.
a) Vis at radius i sylinderen kan uttrykkes som
Løsning
Volumet til en sylinder er gitt ved
Vi setter
Siden
Her blir
Alternativt kan vi løse oppgaven med CAS.
Vi kan ikke bruke den første løsningen siden
b) Vis at overflata av sylinderen kan uttrykkes som
Løsning
Overflata av en sylinder med bunn og topp er gitt ved
Vi bytter ut
Alternativt kan vi løse oppgaven med CAS.
Som i den forrige oppgaven ser vi at GeoGebra skriver svaret på en litt annen måte enn den vi kom fram til for hånd. Hva er forskjellen?
Du skal lage en sylinderformet boks som skal romme én liter.
c) Hvor høy må boksen være, og hvor stor radius må den ha, dersom overflata skal bli minst mulig?
Løsning
For å minimalisere overflata til boksen, må vi finne ut om funksjonen
Vi bruker dobbeltderiverttesten i linje 6 for å sjekke at det ene nullpunktet til
høyden er 1,08 dm
radien er 0,54 dm
d) Hva er forholdet mellom diameter og høyde i denne boksen?
Løsning
Vi løser oppgaven med CAS.
Forholdet mellom diameter og høyde er altså 1. Det betyr at høyden er lik diameteren.
Dersom du har en hermetikkboks eller en annen sylinderformet gjenstand som skal ha volum på 1 liter, kan du ta med en linjal og måle diameter og høyde. Hvordan er målene i forhold til resultatene du har funnet her?