Eksponentialfunksjonen som modell. Regresjon

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer dem, velger verktøyet "Regresjonsanalyse" og modellen "Eksponentiell".

Den eksponentielle funksjonen som passer best til punktene, er

$$ V\left(x\right)=322 237·0,{897}^x$$

Vi vet at en enkel eksponentialfunksjon ikke har noen vendepunkter. Derfor vil veksten være størst og minst i eventuelle endepunkter.

Vi kopierer funksjonen fra regresjonsanalysevinduet og til grafikkfeltet og åpner CAS-vinduet.

Linje 2 gir at grafen til $$ V$$ alltid synker. Linje 1 gir at grafen alltid vender den hule sida opp. Det betyr at den negative veksten er størst da bilen ble kjøpt, det vil si når $$ x=0$$.

Bilen sank mest i verdi da den var helt ny, og da sank verdien med 35 000 kroner per år.

Verdiendringen på bilen det første året er lik

Etter modellen (funksjonen) sank bilen i verdi med 33 223 kroner. Dette er litt mindre enn svaret i den forrige deloppgaven. Årsaken til det er at svaret i den forrige deloppgaven sier hvor mye bilen ville ha sunket i verdi hvis den skulle synke like mye hele det første året som i starten, da bilen var ny. Verdien synker gradvis mindre og mindre hele tida slik at verditapet det første året ikke blir så stort som svaret i den forrige oppgaven skulle tilsi.

Husk at svaret i den forrige oppgaven egentlig er den momentane vekstfarten til funksjonen for $$ x=0$$.

Dette kan vi finne ut ved å løse likningen $$ V\left(x\right)=\frac{1}{2}V\left(0\right)$$.

Verdien av bilen var halvert etter i overkant av 6 år.

Funksjonsuttrykket til eksponentialfunksjonen $$ V\left(x\right)$$ viser at vi har en årlig vekstfaktor på 0,8969. Den årlige prosentvise nedgangen finner vi ved regnestykket nedenfor.

Alternativt kan vi løse likningen

$$ 1-\frac{x}{100}=0,896 9$$

Ved å gjøre tilsvarende som i oppgave a) får vi at

$$ V_2\left(x\right)=322 237 e^{0.1088x}$$

Tallet foran potensen er likt for de to modellene. Vi kan prøve å omforme potensen i $$ V_2\left(x\right)$$ ved å bruke potensregler.

$$ e^{-0,1088x}={\left(e^{-0,1088}\right)}^x=0,{897}^x$$

Dette er det samme uttrykket som i $$ V\left(x\right)$$, så det er den samme funksjonen, bare skrevet på to ulike måter.

Forslag til kode:

1        # importerer nødvendige bibliotek
2from scipy.optimize import curve_fit
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lager funksjonen som beskriver modellen
7def modell(x,a,b):
8  return a*b**x
9  
10        # legger inn måledataene i lister
11x_verdier = [0,5,9]
12y_verdier = [320000,190000,120000]
13
14        # bruker metoden curve_fit og legger resultatene i to lister
15konstanter,kovarians = curve_fit(modell,x_verdier,y_verdier)
16
17        # henter ut konstantene fra lista konstanter
18a, b = konstanter
19
20        # a) lager utskrift av funksjonen
21print(f"a) Funksjonen blir V(x) = {a:.0f}·{b:.3f}^x.")
22
23        # b) regner ut den deriverte for x=0
24derivert_0 = abs(modell(0.00001,a,b)-modell(0,a,b))/0.00001
25print(f"b) Bilen sank mest i verdi i starten av 2012, og da sank den med {derivert_0:.0f} kroner per år.")
26
27        # c) regner ut verdiendringen fra 2012 til 2013
28verdiendring = modell(1,a,b) - modell(0,a,b)
29print(f"c) Bilens verdi endret seg med {verdiendring:.0f} kroner fra 2012 til 2013.")
30
31        # d) regner ut når bilen er halvert i verdi
32halvverdi = 320000/2
33x_verdi = 0
34while modell(x_verdi,a,b) > halvverdi:
35  x_verdi = x_verdi + 0.1
36print(f"d) Bilen er halvert i verdi {x_verdi:.1f} år etter 2012.")
37
38        # e) regner ut den årlige, gjennomsnittlige prosentvise nedgangen
39print(f"e) Den årlige prosentvise nedgangen er på {(1-b)*100:.1f} %.")

Vi får følgende utskrift:

a) Funksjonen blir V(x) = 320641·0.898^x.

b) Bilen sank mest i verdi i starten av 2012, og da sank den med 34396 kroner per år.

c) Bilens verdi endret seg med -32615 kroner fra 2012 til 2013.

d) Bilen er halvert i verdi 6.5 år etter 2012.

e) Den årlige prosentvise nedgangen er på 10.2 %.

Vi skriver tallene fra tabellen inn i regnearket. 7. april betyr da at $$ x=7$$. Vi markerer tallene, velger regresjonsanalyseverktøyet og velger modellen eksponentiell.

Den eksponentielle funksjonen som passer best til punktene er

$$ B\left(x\right)=415 967 ·1,{019}^x$$

Vi må regne ut forskjellen i verdi mellom 30. april og 1. april.

Dette er det samme som den deriverte når $$ x=7$$.

Regn ut hvor mange dager det er igjen av året etter 1. april.

Et viktig stikkord her er vekstfaktor.

b) Fra linje 1 får vi at vi etter modellen skulle man tjene 300 405 kroner på å kjøpe en bitcoin 1. april og selge den 30. april.

c) Fra linje 2 får vi at etter modellen steg verdien på 1 bitcoin med 8 748 kroner 7. april.

d) Fra linje 3 får vi at fra og med 1. april til og med 31. desember er det 275 dager. Fra linje 4 får vi at verdien av en bitcoin 31. desember er omtrent 67 millioner kroner.

e) Fra linje 5 får vi at i gjennomsnitt steg verdien på en bitcoin med 242 938 kroner per dag. Dette er veldig mye mer enn hvor mye verdien steg per dag den 7. april (oppgave c)). Årsaken til det er at veksten i kroner blir større og større utover året siden den er eksponentiell.

f) Vekstfaktoren i funksjonen er 1,019. Vekstfaktoren er fra dag til dag. Dette betyr at den prosentvise veksten per dag er på 1,9 prosent.

g) I linje 6 regner vi ut den totale vekstfaktoren for 30 dager i april. Fra linje 7 får vi så at dette tilsvarer ei månedsrente på 76 prosent.

h) Fra linje 8 og 9 får vi tilsvarende at den årlige renta blir på ufattelige 96 189 prosent!

i) Kommentar: De fire tallene som var utgangspunkt for modellen, ble valgt ut ifra en kort periode i april 2021 da veksten var høy. 25. april samme år var verdien på en bitcoin nede i 407 504 kroner ...

Forslag til kode:

1        # importerer nødvendige bibliotek
2from scipy.optimize import curve_fit
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lager funksjonen som beskriver modellen
7def modell(x,a,b):
8  return a*b**x
9  
10        # legger inn måledataene i lister
11x_verdier = [7,9,12,13]
12y_verdier = [474000,493000,508000,538000]
13
14        # bruker metoden curve_fit og legger resultatene i to lister
15konstanter, kovarians = curve_fit(modell,x_verdier,y_verdier)
16
17        # henter ut konstantene fra lista konstanter
18a, b = konstanter
19
20        # a) lager utskrift av funksjonen
21print(f"a) Funksjonen blir B(x) = {a:.0f}·{b:.3f}^x.")
22
23        # b) regner ut verdistigningen fra 1. april til 30. april
24verdiendring = modell(30,a,b) - modell(1,a,b)
25print(f"b) Du tjente {verdiendring:.0f} kroner på denne handelen.")
26
27        # c) regner ut verdistigningen per dag 7. april
28derivert = (modell(7 + 0.0001,a,b) - modell(7,a,b))/0.0001
29print(f"c) Verdien på 1 bitcoin endret seg med {derivert:.2f} kroner per dag 7. april.")

Vi får følgende utskrift:

a) Funksjonen blir B(x) = 415256·1.019^x.

b) Du tjente 303623 kroner på denne handelen.

c) Verdien på 1 bitcoin endret seg med 8826.61 kroner per dag 7. april.