Oppgave

Forventningsverdi

Her skal du jobbe med oppgaver om forventningsverdi. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Vi definerer den stokastiske variabelen $X$ som antall ganger man får krone ved kast av tre tikroner.

Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen for $X$ :

Sannsynlighetsfordeling for X
$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

a) Regn ut forventningsverdien til $X$ for hånd.

Løsning

$E (X) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = 1, 5$

b) Hva forteller forventningsverdien oss?

Løsning

Det er ikke mulig å få krone akkurat 1,5 ganger, men denne verdien forteller oss gjennomsnittet av antall ganger vi hadde fått krone dersom vi hadde kastet 3 tikroner mange ganger.

c) Lag et program som simulerer et forsøk med kast av tre tikroner og regner ut gjennomsnittet av antall ganger man får krone som en tilnærming til forventningsverdien.

Løsning

Her er to ulike forslag til program:

python

1import numpy as np
2
3N = 10000           #antall forsøk
4M = []              #ei liste for antall mynt
5
6for i in range(N):  
7    M.append(np.random.binomial(3,0.5)) 
8                    #henter ut antall suksesser i en binomisk fordeling
9
10snitt = sum(M)/N    #finner snittet av antall suksesser
11
12print(f"Gjennomsnittsverdien av X er {snitt:.2f}.")

python

1import numpy as np
2rng = np.random.default_rng()    #lager en generator
3
4N = 10000                        #bestemmer antall forsøk
5
6M = rng.binomial(3,0.5,N)        #lager en array med N antall mynter 
7
8snitt = np.average(M)            #finner snittet
9
10print(f"Gjennomsnittsverdien av X er {snitt:.2f}.")

Husk at om du har lagd et annet program som virker, kan det være like bra!

d) Utvid programmet slik at du finner ut cirka hvilket antall forsøk som trengs for at gjennomsnittet skal være lik forventningsverdien med en nøyaktighet på 3 desimaler. Kjør programmet ditt 10 ganger og kommenter resultatet.

Løsning

Her er et program som lager en funksjon av det programmet vi lagde i c), og så ser vi hvor mange ganger vi må kjøre det for at nøyaktigheten skal bli det vi vil.

python

1import numpy as np
2
3def snitt(N):           #lager en funksjon som regner ut snittet 
4                        #i et forsøk med kast av 3 tikroner
5    rng = np.random.default_rng()
6
7    M = rng.binomial(3,0.5,N)
8
9    return np.average(M)
10
11N=1
12
13while abs(snitt(N)-1.5)>0.0005:
14    N = N*10            #kjører løkke som øker antall forsøk 
15                        #til vi når ønsket nøyaktighet
16
17print(f"Man trenger cirka {N} forsøk for å få en nøyaktighet på tre desimaler.")

Antakelig vil du få mange ulike svar når du kjører dette programmet, men i de fleste tilfellene vil du trenge ganske mange forsøk. Det er altså ikke så lett å forutsi hvor mange forsøk du må ha for å treffe denne nøyaktigheten. Senere vil vi jobbe med hypotesetesting, og da vil vi regne ut hvor sannsynlig det er at resultatet i et forsøk vil ligge nært opptil den egentlige sannsynligheten.

Oppgave 2

En flervalgsprøve består av fem oppgaver. Hver oppgave er et spørsmål med fem svaralternativer, og oppgaven skal løses ved å krysse av for et riktig svaralternativ. Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Vi regner med uavhengighet. La den stokastiske variabelen $X$ stå for antall riktige svar.

a) Lag en tabell med sannsynlighetsfordelingen til $X$ .

Løsning

Her har vi en binomisk fordeling, siden vi har uavhengige forsøk med lik sannsynlighetsfordeling og to utfall (riktig eller feil).

Vi kan bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra:

Skjermutklipp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Bildet viser sannsynlighetsfordelingen til en binomisk fordeling med n lik 5 og p lik 0,2. Selve sannsynlighetsfordelingen kan leses i tabellen under.

Vi får følgende sannsynlighetsfordeling:

Sannsynlighetsfordeling til X
$x$	0	1	2	3	4	5
$P (X = x)$	0,327 7	0,409 6	0,204 8	0,051 2	0,006 4	0,000 3

b) Regn ut forventningsverdien for hånd.

Løsning

$\begin{matrix} 0 \cdot 0, 3277 + 1 \cdot 0, 4096 + 2 \cdot 0, 2048 \\ + 3 \cdot 0, 0512 + 4 \cdot 0, 0064 + 5 \cdot 0, 0003 \\ = 0, 97 \approx 1, 0 \end{matrix}$

c) Forklar at du kunne ha funnet forventningsverdien ut fra oppgaveteksten.

Løsning

Ved 5 svaralternativer og 5 spørsmål vil du i det lange løp svare riktig på hvert 5. spørsmål, det vil si ett riktig svar på 5 spørsmål.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Forventningsverdi(DOCX)
Forventningsverdi(PDF)