Fagstoff

Binomisk fordeling. Forventningsverdi, varians og standardavvik

Her skal du få lære mer den binomiske fordelingen.

I S1 lærte du om binomisk sannsynlighetsfordeling. I en binomisk sannsynlighetsfordeling er tre vilkår oppfylt: Vi har kun to mulige utfall, sannsynligheten er lik i alle delforsøk, og alle delforsøk er uavhengige av hverandre. Vi skal utlede formler for forventningsverdi, varians og standardavvik i en slik fordeling.

Praktisk eksempel

Foto av ei hånd som setter hake ved ulike svaralternativer på en nettbrettskjerm.

Vi tar utgangspunkt i et eksempel der du skal ha en flervalgsprøve i matematikk, med ti oppgaver og fire svaralternativer på hver oppgave.

Vi lar den stokastiske variabelen $Y$ være antall riktige svar på én oppgave. $Y$ kan da ha verdien 0 eller 1, noe som gir følgende sannsynlighetsfordeling:

Sannsynlighetsfordeling
$y$	0	1
$P (Y = y)$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

Vi kan nå regne ut forventningsverdien, variansen og standardavviket til $Y$ :

$\begin{array}{rcl} E (Y) & = & 0 \cdot \frac{3}{4} + 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \\ V a r (Y) & = & {(0 - \frac{1}{4})}^{2} \cdot \frac{3}{4} + {(1 - \frac{1}{4})}^{2} \cdot \frac{1}{4} \\ = & \frac{3}{4^{3}} + \frac{9}{4^{3}} = \frac{12}{4^{3}} = \frac{3}{16} \\ S T (Y) & = & \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{array}$

Studer verdiene til forventningsverdien og standardavviket. Kan du se en sammenheng med sannsynlighetene i tabellen?

Forklaring

Vi kan se at

$E (Y) = \frac{1}{4} = P (Y = 1)$

og at

$V a r (Y) = \frac{3}{16} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = P (Y = 0) \cdot P (Y = 1)$ $\begin{array}{rcl} \end{array}$

Dette skal vi se nærmere på under når vi skal utlede de generelle formlene i binomiske fordelinger.

Vi lar nå $X$ være antall riktige svar på prøven. Da har vi at

$X = Y_{1} + Y_{2} + . . . + Y_{10} = 10 \cdot Y$ .

Vi kan nå finne forventningsverdien, variansen og standardavviket til $X$ ved hjelp av det vi vet om summer av stokastiske variabler:

$\begin{array}{rcl} E (X) & = & 10 \cdot E (Y) = 10 \cdot \frac{1}{4} = 2, 5 \\ V a r (X) & = & 10 \cdot V a r (Y) = 10 \cdot \frac{3}{16} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} \\ S T (X) & = & \sqrt{\frac{15}{8}} \end{array}$

Generelle formler

Vi kan generalisere disse utregningene til formler for forventningsverdi, varians og standardavvik i binomiske sannsynlighetsfordelinger. Vi lar nå variabelen $Y$ være antall suksesser i ett delforsøk, og som i eksempelet over kan den få verdien 0 eller 1 og får følgende sannsynlighetsfordeling:

$y$	0	1
$P (Y = y)$	$1 - p$	$p$

Vi regner ut forventningsverdi og varians og ser at sammenhengen vi fant over, gjelder generelt:

$\begin{array}{rcl} E (Y) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p \\ = & p \\ V a r (Y) & = & {(0 - p)}^{2} \cdot (1 - p) + {(1 - p)}^{2} \cdot p \\ = & p^{2} - p^{3} + p - 2 p^{2} + p^{3} \\ = & p - p^{2} \\ = & p (1 - p) \end{array}$

Vi lar nå variabelen $X$ være antall suksesser i et binomisk forsøk med $n$ delforsøk. Da har vi at

$X = Y_{1} + Y_{2} + . . . + Y_{n}$

På samme måte som over har vi at

$\begin{array}{rcl} E (X) & = & n \cdot p \\ V a r (X) & = & n \cdot p \cdot \sqrt{1 - p} \\ S T (X) & = & \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} \end{array}$

Vi kan nå formulere følgende:

Forventningsverdi og standardavvik i en binomisk fordeling

La $X$ være antall suksesser i ei binomisk forsøksrekke med $n$ delforsøk, hver med sannsynlighet $p$ for suksess.

Forventningsverdi og standardavvik til $X$ er da gitt ved

$\begin{array}{rcl} μ & = & E (X) = n p \\ σ & = & S T (X) = \sqrt{n p (1 - p)} \end{array}$