Oppgave

Binomisk fordeling. Forventningsverdi, varians og standardavvik

Her får du jobbe med oppgaver om forventningsverdi, varians og standardavvik i binomisk sannsynlighetsfordeling. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

En flervalgsprøve består av tre oppgaver. Hver oppgave er et spørsmål med fem svaralternativer, og oppgaven skal løses ved å krysse av for et riktig svaralternativ. Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Vi regner med at oppgavene er uavhengige av hverandre.

a) Hva er sannsynligheten for å svare riktig på ett enkelt spørsmål?

Løsning

$P (r e t t s v a r) = \frac{1}{5} = 0, 20$

La $X$ være antall riktige svar på 3 spørsmål. $X$ har følgende sannsynlighetsfordeling:

sannsynlighetsfordeling
$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	0,512	0,384	0,096	0,008

b) Finn forventningsverdien $μ$ til $X$ ved å bruke formelen $μ = E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i})$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} μ & = & 0 \cdot 0, 512 + 1 \cdot 0, 384 + 2 \cdot 0, 096 + 3 \cdot 0, 008 \\ = & 0, 384 + 0, 192 + 0, 024 \\ = & 0, 6 \end{array}$

c) Finn forventningsverdien $μ$ til $X$ ved å bruke formelen for forventningsverdien i en binomisk fordeling.

Løsning

$μ = n \cdot p = 3 \cdot 0, 2 = 0, 6$

d) Finn standardavviket $σ$ til $X$ .

Løsning

Vi har at $σ = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{2 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8} = \sqrt{0, 48} \approx 0, 7$ .

e) Finn $P (X \leq 1)$ og forklar med ord hva du har funnet.

Løsning

$P (x \geq 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0, 512 + 0, 384 = 0, 896$

Dette betyr at det er 89,6 % sjanse for at du ikke får mer enn ett riktig svar på prøven om du bare gjetter.

Oppgave 2

En skiskytter har en treffprosent på 80 %. La $X$ være antall treff på 10 skudd. Vi forutsetter at antall treff er binomisk fordelt.

a) Finn forventningsverdi $μ$ og standardavvik $σ$ til $X$ .

Løsning

Vi har en binomisk fordeling med $n = 10$ og $p = 0, 8$ :

$\begin{array}{rcl} μ & = & n \cdot p = 10 \cdot 0, 8 = 8 \\ σ & = & \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{8 \cdot 0, 2} = \sqrt{1, 6} \approx 1, 26 \end{array}$

La $Y$ være antall treff på 20 skudd. Vi forutsetter også her at antall treff er binomisk fordelt.

b) Finn forventningsverdi $μ$ og standardavvik $σ$ til $Y$ .

Løsning

Vi har en binomisk fordeling med $n = 20$ og $p = 0, 8$ :

$\begin{array}{rcl} μ & = & n \cdot p = 20 \cdot 0, 8 = 16 \\ σ & = & \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{16 \cdot 0, 2} = \sqrt{3, 2} \approx 1, 79 \end{array}$

Oppgave 3

a) I en binomisk fordeling har vi $n = 10$ og $μ = 2, 5$ . Finn $p$ og $σ$ i denne fordelingen.

Løsning

Vi vet at $μ = n p$ og $σ = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

Dette gir følgende:

$\begin{array}{rcl} μ & = & n p \\ 2, 5 & = & 10 p \\ p & = & \frac{2, 5}{10} = \frac{25}{100} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} σ & = & \sqrt{n p (1 - p)} \\ = & \sqrt{\frac{25}{10} (1 - \frac{1}{4})} \\ = & \sqrt{\frac{100}{40} - \frac{25}{40}} \\ = & \sqrt{\frac{75}{40}} = \sqrt{\frac{15}{8}} \end{array}$

b) I en annen binomisk fordeling er $μ = 10$ og $σ$ = 3. Hva er $n$ og $p$ i denne fordelingen?

Løsning

Vi bruker formlene slik som i a:

$\begin{array}{rcl} σ^{2} & = & n p (1 - p) \\ 3^{2} & = & 10 (1 - p) \\ 9 & = & 10 - 10 p \\ 10 p & = & 1 \\ p & = & 0, 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} n p & = & 10 \\ n \cdot 0, 1 & = & 10 \\ n & = & 100 \end{array}$

Vi har at $n = 100$ og $p = 0, 1$ .

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.