Oppgave

Vektorproduktet. Høyrehåndsregelen

Her får du øvd på å bruke vektorproduktet og høyrehåndsregelen ved hjelp av definisjonen på vektorproduktet. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Figurene viser vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ . Avklar for hvert tilfelle om det er mulig at $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ .

a) På figuren tenker vi oss at $\vec{a}$ og $\vec{b}$ peker på skrå bort fra oss.

Illustrasjon av vektorene a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle starter i samme punkt. a-vektor peker på skrå opp til venstre, b-vektor peker på skrå opp til høyre, og c-vektor peker nedover. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikke 90 grader. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 grader.

Løsning

Siden vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ følger høyrehåndsregelen, kan vi ha at $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ .

b) På figuren tenker vi oss at $\vec{a}$ og $\vec{b}$ peker på skrå bort fra oss.

Illustrasjon av vektorene a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle starter i samme punkt. a-vektor peker på skrå opp til høyre, b-vektor peker på skrå opp til venstre, og c-vektor peker nedover. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikke 90 grader. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 grader.

Løsning

$\vec{c}$ kan ikke være kryssproduktet av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ siden vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ ikke følger høyrehåndsregelen. Da måtte i tilfelle $\vec{c}$ ha pekt oppover på figuren i stedet for nedover.

c) På figuren tenker vi oss at $\vec{a}$ og $\vec{c}$ peker på skrå bort fra oss.

Illustrasjon av vektorene a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle starter i samme punkt. a-vektor peker på skrå opp til høyre, b-vektor peker rett ned, og c-vektor peker på skrå opp til venstre. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor er ikke 90 grader. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 grader.

Løsning

$\vec{c}$ kan ikke være kryssproduktet av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ fordi $\vec{c}$ ikke står normalt på $\vec{a}$ .

d) På figuren tenker vi oss at $\vec{b}$ og $\vec{c}$ peker på skrå bort fra oss.

Illustrasjon av vektorene a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle starter i samme punkt. c-vektor peker på skrå opp til høyre, b-vektor peker på skrå opp til venstre, og a-vektor peker på skrå nedover mot høyre. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikke 90 grader. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 grader.

Løsning

Siden vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ følger høyrehåndsregelen, kan vi ha at $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ .

e) På figuren tenker vi oss at $\vec{b}$ og $\vec{c}$ peker på skrå bort fra oss.

Illustrasjon av vektorene a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle starter i samme punkt. b-vektor peker på skrå opp til høyre, c-vektor peker på skrå opp til venstre, og a-vektor peker på skrå nedover mot høyre. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikke 90 grader. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 grader.

Løsning

f) Studer 3D-grafikkfeltet til GeoGebra. Utgjør koordinataksene et høyrehåndssystem?

Løsning

Illustrasjon av et tredimensjonalt koordinatsystem som er tegnet med GeoGebra for x-verdier mellom minus 3 og 7, y-verdier mellom minus 4 og 5 og z-verdier mellom minus 2 og 4. — 3D-grafikkfeltet til GeoGebra

Før vi kan svare på dette, må vi sette opp en rekkefølge på koordinataksene. Den naturlige rekkefølgen er den alfabetiske, altså $x$ - $y$ - $z$ . I denne rekkefølgen følger koordinataksene høyrehåndsregelen.

Oppgave 2

Illustrasjon av vektorene a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle starter i samme punkt. c-vektor er lik vektorproduktet av a-vektor og b-vektor. a-vektor peker på skrå opp til venstre, b-vektor peker på skrå opp til høyre, og c-vektor peker nedover. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikke 90 grader. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 grader.

På figuren er $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ .

a) Hva får vi dersom vi tar $\vec{b} \times \vec{a}$ ?

Løsning

Både for $\vec{a} \times \vec{b}$ og $\vec{b} \times \vec{a}$ gjelder at resultatet er lik $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ$ . Så vektoren $\vec{b} \times \vec{a}$ må være like lang som $\vec{c}$ . Når $\vec{a}$ og $\vec{b}$ bytter plass, gir høyrehåndsregelen at kryssproduktet må være en vektor i motsatt retning av $\vec{c}$ . Det betyr at

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \Leftrightarrow \vec{b} \times \vec{a} = - \vec{c}$

b) Hva får vi dersom vi tar $- \vec{a} \times \vec{b}$ ?

Løsning

$- \vec{a}$ vil gå nedover mot høyre på figuren, det vil si i motsatt retning av $\vec{a}$ . Da vil høyrehåndsregelen gi en vektor som peker i motsatt retning av $\vec{c}$ . Lengden av $- \vec{a} \times \vec{b}$ blir

$|- \vec{a} \times \vec{b}| = |- \vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin (180 ° - θ) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ = |\vec{c}|$

Det betyr at

$- \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{c}$

c) Hva får vi dersom vi tar $\vec{a} \times \vec{a}$ ?

Løsning

Vi ser på lengden av $\vec{a} \times \vec{a}$ .

$|\vec{a} \times \vec{a}| = |a| \cdot |a| \cdot \sin 0 ° = 0$

En vektor med lengde lik 0 kaller vi nullvektoren, eller $\vec{0}$ . En vektor kryssmultiplisert med seg selv gir derfor nullvektoren som resultat. Vi får

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0} = [0, 0, 0]$

d) Hva blir resultatet av $\vec{u} \times \vec{v}$ dersom $\vec{u} ∥ \vec{v}$ ?

Løsning

Dersom $\vec{u} ∥ \vec{v}$ , får vi

$|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin 0 ° = 0$

Det betyr at

$\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} = [0, 0, 0]$

Oppgave 3

a) Finn $\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}}$ ved å bruke definisjonen på vektorproduktet.

Løsning

Vi har fra oppgave 4.1.30 f) at koordinataksene følger høyrehåndsregelen. Det betyr at vektoren som er resultatet av $\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}}$ , må peke i positiv $z$ -retning siden den skal stå normalt på både $\vec{e_{x}}$ og $\vec{e_{y}}$ . Så ser vi på lengden av vektoren:

$|\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}}| = |\vec{e_{x}}| \cdot |\vec{e_{y}}| \cdot \sin (∠ (\vec{e_{x}}, \vec{e_{y}})) = 1 \cdot 1 \cdot \sin 90 ° = 1$

Vektoren med lengde 1 og retning i positiv $z$ -retning er $\vec{e_{z}}$ . Vi får derfor at

$\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}} = \vec{e_{z}}$

b) Finn på tilsvarende måte $\vec{e_{y}} \times \vec{e_{z}}$ .

Løsning

Siden koordinataksene følger høyrehåndsregelen i rekkefølgen $x$ - $y$ - $z$ , vil de også gjøre det i rekkefølgen $y$ - $z$ - $x$ . Ved å la pekefingeren peke i positiv $y$ -retning og langfingeren i positiv $z$ -retning vil tommelfingeren peke i positiv $x$ -retning. Ved å følge tilsvarende resonnement som i a) får vi at

$\vec{e_{y}} \times \vec{e_{z}} = \vec{e_{x}}$

c) Finn på tilsvarende måte $\vec{e_{y}} \times \vec{e_{y}}$ .

Løsning

I oppgave 4.1.31 c) så vi at en vektor kryssmultiplisert med seg selv gir nullvektoren som svar. Da får vi

$\vec{e_{y}} \times \vec{e_{y}} = \vec{0}$

d) Skriv opp et vektorprodukt mellom to av enhetsvektorene slik at resultatet blir $\vec{e_{y}}$ .

Løsning

Vi trenger riktig rekkefølge på koordinataksene når rekkefølgen skal slutte på $y$ . Det må bli $z$ - $x$ - $y$ . Det betyr at

$\vec{e_{y}} = \vec{e_{z}} \times \vec{e_{x}}$

e) Skriv opp et vektorprodukt mellom to av enhetsvektorene slik at resultatet blir $- \vec{e_{x}}$ .

Løsning

Vi har fra oppgave b) at $\vec{e_{x}} = \vec{e_{y}} \times \vec{e_{z}}$ . I oppgave 4.1.21 a) så vi at

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \Leftrightarrow \vec{b} \times \vec{a} = - \vec{c}$

Det betyr når vi bytter om på vektorene som kryssmultipliseres, får vi den samme vektoren, men motsatt rettet. Da får vi

$- \vec{e_{x}} = \vec{e_{z}} \times \vec{e_{y}}$

Oppgave 4

Hvorfor har vektorproduktet i utgangspunktet ingen mening i et todimensjonalt koordinatsystem?

Forklaring

I en todimensjonal verden kan vi ikke tenke oss en vektor som står normalt på to vektorer som ikke er parallelle, for da må vi bevege oss ut i den tredje dimensjonen.

Oppgave 5

Vi har gitt vektorene $\vec{a} = [1, 2, 3]$ og $\vec{b} = [- 2, 1, - 3]$ . Bruk definisjonen av vektorproduktet og finn koordinatene til $\vec{a} \times \vec{b}$ . Prøv å løse oppgaven uten hjelpemidler først. Kontroller svaret med CAS etterpå.

Løsning

Løsning uten hjelpemidler

Vi begynner med å finne lengden $\vec{a} \times \vec{b}$ .

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ$

der $θ$ er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

$|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

Vi kan bruke skalarproduktet av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ til først å finne $\cos θ$ for deretter å finne $\sin θ$ ved hjelp av enhetsformelen.

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos θ \\ \cos θ & = & \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \\ = & \frac{[1, 2, 3] \cdot [- 2, 1, - 3]}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \\ = & \frac{- 2 + 2 - 9}{14} \\ = & - \frac{9}{14} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \cos^{2} θ + \sin^{2} θ & = & 1 \\ \sin θ & = & \sqrt{1 - \cos^{2} θ} \\ = & \sqrt{1 - {(- \frac{9}{14})}^{2}} \\ = & \sqrt{1 - \frac{81}{196}} \\ = & \sqrt{\frac{196 - 81}{196}} \\ = & \frac{1}{14} \sqrt{115} \end{array}$

Kommentar: Enhetsformelen gir også at $\sin θ = - \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$ , men siden vinkelen mellom to vektorer ikke kan være større enn 180°, trenger vi ikke denne løsningen. Vi får

$\begin{array}{rcl} |\vec{a} \times \vec{b}| & = & |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ \\ = & \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} \cdot \frac{1}{14} \sqrt{115} \\ = & \sqrt{115} \end{array}$

Nå setter vi $\vec{a} \times \vec{b} = [x, y, z]$ . Vi har tre ukjente vi skal finne, og vi trenger tre likninger. Vi kan sette opp disse kravene:

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) & = & 0 \\ [1, 2, 3] \cdot [x, y, z] & = & 0 \\ x + 2 y + 3 z & = & 0 \end{array}$
$\begin{array}{rcl} \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) & = & 0 \\ [- 2, 1, - 3] \cdot [x, y, z] & = & 0 \\ - 2 x + y - 3 z & = & 0 \end{array}$
$\begin{array}{rcl} |\vec{a} \times \vec{b}| & = & \sqrt{115} \\ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} & = & \sqrt{115} \end{array}$

Vi kan starte med å legge sammen de to første likningene for å eliminere $z$ . Da får vi

$\begin{array}{rcl} x + 2 y + 3 z - 2 x + y - 3 z & = & 0 \\ - x + 3 y & = & 0 \\ x & = & 3 y \end{array}$

Vi setter resultatet inn i likning 1.

$\begin{array}{rcl} 3 y + 2 y + 3 z & = & 0 \\ 3 z & = & - 5 y \\ z & = & - \frac{5}{3} y \end{array}$

Vi setter disse to resultatene inn i likning 3.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} & = & \sqrt{115} \\ \sqrt{{(3 y)}^{2} + y^{2} + {(- \frac{5}{3} y)}^{2}} & = & \sqrt{115} \\ 10 y^{2} + \frac{25}{9} y^{2} & = & 115 \\ 2 y^{2} + \frac{5}{9} y^{2} & = & 23 \\ 18 y^{2} + 5 y^{2} & = & 207 \\ 23 y^{2} & = & 207 \\ y^{2} & = & 9 \\ y & = & \pm 3 \end{array}$

Det er bare den ene løsningen som kan være riktig. For å finne hvilken av disse løsningene som er riktig, kan vi se på i hvilken del av koordinatsystemet $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ligger i. Vi lager en rask skisse som viser omtrent hvor de to vektorene ligger.

Illustrasjon av et tredimensjonalt koordinatsystem. Vektor a peker på skrå oppover til høyre, vektor b peker nedover på skrå til venstre og fra oss.

$\vec{a}$ ligger i den delen av koordinatsystemet der alle koordinatene er positive. $\vec{b}$ ligger i den delen med negativ $x$ - og $z$ -koordinat og positiv $y$ -koordinat.

Ut ifra bildet gir høyrehåndsregelen at $\vec{a} \times \vec{b}$ må peke til venstre i bildet og ha negativ $x$ -koordinat. Siden $x = 3 y$ , har $x$ og $y$ samme fortegn. Derfor slår vi fast at

$y = - 3$

Da får vi videre at

$z = - \frac{5}{3} y = - \frac{5}{3} \cdot (- 3) = 5$

$x = 3 y = 3 \cdot (- 3) = - 9$

Vi får til slutt at

$\vec{a} \times \vec{b} = [- 9, - 3, 5]$

Løsning med CAS

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 og 2 er vektorene a og b fra oppgaven skrevet inn. På linje 3 er vektoren a x b definert med koordinatene x, y og z. På linje 4 er cos theta definert som a b delt på Lengde a og delt på Lengde b. Svaret er cos theta kolon er lik minus 9 fjortendeler. På linje 5 er sin theta definert som rota av parentes 1 minus cos theta i andre parentes slutt. Svaret er sin theta kolon er lik en fjortendels rot 115. På linje 6 er likningen Lengde a x b er lik Lengde a multiplisert med Lengde b multiplisert med sin theta skrevet inn. Svaret er rota av parentes x i andre pluss y i andre pluss z i andre parentes slutt er lik rot 115. På linje 7 er likningen a multiplisert med a x b er lik 0 skrevet inn. Svaret er x pluss 2 y pluss 3 z er lik 0. På linje 8 er likningen b multiplisert med a x b er lik 0 skrevet inn. Svaret er minus 2 x pluss y minus 3 z er lik 0. På linje 9 det skrevet sløyfeparentes dollartegn 6 komma, dollartegn 7 komma, dollartegn 8 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løs er x er lik 9, y er lik 3, z er lik minus 5 eller x er lik minus 9, y er lik minus 3, z er lik 5.

Som ved løsning uten hjelpemidler må vi inn med en skisse og prøve å bestemme hvilken av løsningene som er riktig, det vil si hvilken av løsningene som gjør at $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ følger høyrehåndsregelen. Med samme resonnement får vi samme løsning:

$\vec{a} \times \vec{b} = [- 9, - 3, 5]$

Sluttkommentar: Dette er en veldig tungvint måte å finne koordinatene til $\vec{a} \times \vec{b}$ på. På teorisiden "Vektorproduktet. Koordinatformel" kan du lære en mye raskere metode.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Vektorer i rommet

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Løsning uten hjelpemidler

Løsning med CAS

Nedlastbare filer