Fagstoff

Vektorer i tre dimensjoner

En utvidelse fra to til tre dimensjoner gjør ikke den grunnleggende vektorregningen vanskeligere, men gir noen flere muligheter.

De fleste regnereglene for vektorer er like uansett om vektorene er i to eller tre dimensjoner. Se gjerne på vektorkapittelet i matematikk R1 hvis du trenger repetisjon før du setter i gang.

Vektoren mellom to punkter

I to dimensjoner

Husker du hvordan man finner koordinatene til vektoren mellom to punkter, for eksempel punktene $A (2, 4)$ og $B (7, 1)$ ? Finn koordinatene til $\vec{A B}$ , og sjekk med framgangsmåten nedenfor.

Utregning av vektorkoordinater i to dimensjoner

Vi tar koordinatene til $B$ og trekker fra koordinatene til $A$ .

$\vec{A B} = [7 - 2, 1 - 4] = [5, - 3]$

Koordinatsystem fra 2D-grafikkfeltet i GeoGebra. Punktet A med koordinatene 2 og 4 og punktet B med koordinatene 7 og 1 er tegnet inn. Vektoren fra A til B er også tegnet inn. Illustrasjon.

Det betyr at for å komme fra $A$ til $B$ , må vi gå 5 enheter i positiv $x$ -retning og 3 enheter i negativ $y$ -retning. Du kan lese mer om dette i faget R1 på teorisiden "Posisjonsvektor og vektor mellom punkter" hvis du vil.

I tre dimensjoner

Vi tenker på samme måte når vi skal finne vektoren mellom to punkter i tre dimensjoner. Prøv å finne koordinatene til $\vec{A B}$ når punktene er $A (4, 2, 1)$ og $B (- 1, 4, 3)$ .

Koordinatene til vektoren mellom A og B i tre dimensjoner

Vi tar koordinatene til $B$ og trekker fra koordinatene til $A$ som for vektorer i to dimensjoner.

$\vec{A B} = [- 1 - 4, 4 - 2, 3 - 1] = [- 5, 2, 2]$

Tegning av vektorer i tre dimensjoner

Bruk GeoGebra. Tegn punktene $A$ og $B$ fra forrige avsnitt. Tegn $\vec{A B}$ ved å bruke kommandoen Vektor(A,B) i algebrafeltet.

Tegning av vektorer i 3D-grafikkfeltet

Vi skriver først inn punktene i algebrafeltet før vi bruker vektorkommandoen. Resultatet kan se slik ut, her har vi skrevet inn navnet på vektoren og koordinatene manuelt i koordinatsystemet:

Punktet A med koordinatene 4, 2 og 1 og punktet B med koordinatene minus 1, 4 og 3 er tegnet i et tredimensjonalt koordinatsystem. Vektoren mellom A og B er tegnet inn og har koordinatene minus 5, 2 og 2. Illustrasjon. — Eksempel på vektor i tre dimensjoner

Roter på koordinatsystemet ditt for å se hvordan vektoren ser ut fra flere kanter.

Posisjonsvektoren

Prøv kommandoen v=(-5,2,2) og kommandoen P=(-5,2,2) i algebrafeltet. Hva får du?

Punkt og vektor i GeoGebra

Den første kommandoen lager den samme vektoren som $\vec{A B}$ , men nå tegnet ut fra origo. Vektorpila ender i punktet $P$ . Hvis vi kaller origo for $O$ , vil vektoren vi har tegnet, kalles $\vec{O P}$ og være posisjonsvektoren til punktet $P$ .

Tredimensjonalt koordinatsystem. Punktet A med koordinatene 4, 2 og 1, punktet B med koordinatene minus 1, 4 og 3 og punktet P med koordinatene minus 5, 2 og 2 er tegnet i et tredimensjonalt koordinatsystem. Vektoren mellom A og B er tegnet inn og har koordinatene minus 5, 2 og 2. Vektoren mellom origo og punktet P er også tegnet inn og har de samme koordinatene som vektoren mellom A og B. Illustrasjon. — Eksempel på vektorer i tre dimensjoner

Merk at når vi bruker en liten bokstav på navnet slik som i den første av de to kommandoene, lager GeoGebra automatisk en vektor. Bruker vi stor bokstav, lager GeoGebra et punkt.

Vektorer uttrykt ved hjelp av enhetsvektorene

I R1 uttrykker vi vektorer i to dimensjoner ved hjelp av enhetsvektorene slik:

$\vec{a} = [2, 3] = 2 \cdot \vec{e_{x}} + 3 \cdot \vec{e_{y}}$

Her er $\vec{e_{x}} = [1, 0]$ og $\vec{e_{y}} = [0, 1]$ enhetsvektorene i henholdsvis $x$ - og $y$ -retning.

Enhetsvektorer i tre dimensjoner

I et tredimensjonalt koordinatsystem må enhetsvektorene ha 3 koordinater. I tillegg må vi ha en tredje enhetsvektor for $z$ -retningen. Lengden på vektorene skal fortsatt være 1.

Skriv opp navn og koordinater til de tre enhetsvektorene i tre dimensjoner.

Enhetsvektorene i tre dimensjoner

$\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} & = & [1, 0, 0] \\ \vec{e_{y}} & = & [0, 1, 0] \\ \vec{e_{z}} & = & [0, 0, 1] \end{array}$

Skalarproduktet

Husker du definisjonen på skalarproduktet mellom to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ når vinkelen mellom vektorene er $α$ ?

Definisjon på skalarproduktet

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos α$

Denne definisjonen gjelder enten vektorene er i to eller tre dimensjoner. Husk at $|\vec{a}|$ betyr lengden av $\vec{a}$ .

Skalarproduktet på koordinatform i to dimensjoner

Skalarproduktet mellom vektorene $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}]$ på koordinatform er

$\vec{a} \cdot \vec{b} = [x_{1}, y_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}] = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}$

Skalarproduktet på koordinatform i tre dimensjoner

Hva tror du skalarproduktet mellom vektorene $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ på koordinatform blir? Gå til oppgave 4.1.16 for å utforske dette.

Skalarproduktet på koordinatform i tre dimensjoner

Skalarproduktet regnes ut på tilsvarende måte i tre dimensjoner som i to dimensjoner.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}, z_{2}] = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} + z_{1} \cdot z_{2}$

Lengden av en vektor

Lengden av $\vec{a} = [x, y]$ , $|\vec{a}|$ , er

$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Hva tror du formelen for lengden av $\vec{a} = [x, y, z]$ er? Gå til oppgave 4.1.17 a), b) og c) for å utforske dette før du ser på fasiten nedenfor.

Lengden av en vektor i tre dimensjoner

$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Tenk over

Hvorfor kalles vektorene $\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}}, \vec{e_{y}} \end{array}$ og $\begin{array}{rcl} \vec{e_{z}} \end{array}$ enhetsvektorer?

Om enhetsvektorene

Lengden på enhetsvektorene er 1. Kontroller at det stemmer.

Oppsummering

Vektoren mellom to punkter A og B

Gitt $A = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og $B = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ . Da er

$\vec{A B} = [x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}]$

Posisjonsvektoren til et punkt P

Gitt $P = (x, y, z)$ . Da er posisjonsvektoren $\vec{O P}$ til punktet

$\vec{O P} = [x, y, z]$

Skalarproduktet mellom to vektorer

Skalarproduktet mellom vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos α$

Skalarproduktet på koordinatform

Dersom $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ , får vi at

$\vec{a} \cdot \vec{b} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}, z_{2}] = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} + z_{1} \cdot z_{2}$

Lengden av en vektor

Dersom $\vec{a} = [x, y, z]$ , blir lengden av vektoren

$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Vektorer i rommet

Vektoren mellom to punkter

I to dimensjoner

I tre dimensjoner

Tegning av vektorer i tre dimensjoner

Posisjonsvektoren

Vektorer uttrykt ved hjelp av enhetsvektorene

Enhetsvektorer i tre dimensjoner

Skalarproduktet

Skalarproduktet på koordinatform i to dimensjoner

Skalarproduktet på koordinatform i tre dimensjoner

Lengden av en vektor

Tenk over

Oppsummering

Vektoren mellom to punkter A og B

Posisjonsvektoren til et punkt P

Skalarproduktet mellom to vektorer

Skalarproduktet på koordinatform

Lengden av en vektor