Fagstoff

Koordinatsystem i tre dimensjoner. Avstand mellom punkter

På vg1 og vg2 jobbet du med koordinatsystemer i to dimensjoner. Men verden er ikke todimensjonal, og på vg3 blir matematikken tredimensjonal.

I matematikk R2 skal vi studere ulike objekter som vektorer, plan og kuler i tre dimensjoner eller i rommet, som vi også sier. Når vi skal tegne disse objektene, bruker vi 3D-grafikkfeltet i GeoGebra.

Punkter i et tredimensjonalt koordinatsystem med GeoGebra

Illustrasjon av et koordinatsystem der punktet med koordinatene 3 og 2 er tegnet inn. — Punkt i xy-planet

Øvelse

Vi begynner i det vanlige todimensjonale koordinatsystemet og tegner punktet $(3, 2)$ ved å skrive (3,2) i algebrafeltet i GeoGebra. Gå til innstillingene til punktet og endre slik at det er koordinatene til punktet (verdien) som vises, ikke navnet. Da skal det vanlige todimensjonale grafikkfeltet i GeoGebra se ut omtrent som den øverste figuren.

Illustrasjon av et tredimensjonalt koordinatsystem der et punkt med koordinatene 3, 2 og 0 er tegnet inn. Punktet ligger i xy-planet. — 3D-koordinatsystemet i GeoGebra med punkt

Slå på visning av 3D-grafikkfeltet. Da får vi et nytt koordinatsystem der vi i tillegg til $x$ - og $y$ -aksen har fått en tredje akse: $z$ -aksen. Dersom koordinataksene ikke automatisk får navn, kan du høyreklikke på en tom plass i 3D-grafikkfeltet, velge "Grafikkfelt 3D ..." og skrive inn navn på de tre koordinataksene på samme måte som du gjør i det vanlige grafikkfeltet. Punktet vi skrev inn, vises, og det ligger i det vi kaller $x y$ -planet, som er ett av de tre koordinatplanene. Dobbeltklikk på punktet i 3D-grafikkfeltet. Da får plutselig punktet en tredje koordinat, 0. Se den andre figuren.

Den tredje koordinaten er $z$ -koordinaten til punktet når vi er i et tredimensjonalt koordinatsystem.

Tenk over

Hva forteller $z$ -koordinaten til et punkt?

Betydningen til z-koordinaten

$z$ -koordinaten forteller hvor stor avstanden er til $x y$ -planet.

Skriv en tilsvarende forklaring om hva $x$ - og $y$ -koordinaten til et punkt forteller.

Betydningen til x- og y-koordinaten

$x$ -koordinaten forteller hvor stor avstanden til $y z$ -planet er.
$y$ -koordinaten forteller hvor stor avstanden til $x z$ -planet er.

Nytt punkt

Skriv inn punktet $(3, 2, 3)$ i algebrafeltet og kontroller at punktet vises i 3D-grafikkfeltet.

Hvorfor vises ikke det nye punktet i 2D-grafikkfeltet?

Forklaring

Punktet vises ikke fordi det ikke ligger i $x y$ -planet slik som det første punktet. Det todimensjonale grafikkfeltet til GeoGebra vil bare vise objekter som ligger i $x y$ -planet.

Tenk over

Er det lett å finne avstanden mellom punktene $(3, 2, 0)$ og $(3, 2, 3)$ ? Hva blir avstanden?

Avstand mellom punktene

Vi antar nå at det første punktet heter $A$ og det andre $B$ . Siden $B$ ligger rett over $A$ sett fra $x y$ -planet, må avstanden være lik $z$ -koordinaten til $B$ , altså 3. For å kontrollere dette kan du skrive Avstand(A,B) i algebrafeltet eller i CAS-feltet (dersom punktene heter $A$ og $B$ ).

Tilpasning av 3D-grafikkfeltet

Du kan rotere og flytte på det tredimensjonale koordinatsystemet i GeoGebra ved å "dra" med musepekeren. Prøv dette:

Roter på aksene slik at du sikter langs $x y$ -planet.
Roter på aksene slik at du sikter ned langs $z$ -aksen i negativ retning, altså at du ser rett ned på $x y$ -planet. Ser du begge punktene nå?
Hold Shift-knappen nede på tastaturet mens du drar. Hva skjer?

Legg også merke til at når 3D-grafikkfeltet er aktivt, kommer en ny verktøyrad opp.

Avstanden mellom to punkter

Avstanden mellom to punkter i xy-planet

Illustrasjon av et koordinatsystem uten tall på aksene der punktet A med koordinatene x 1 og y 1 og punktet B med koordinatene x 2 og y 2 er tegnet. Linjestykket mellom de to punktene er tegnet inn. I tillegg er loddrette og vannrette linjestykker mellom punktene og de to aksene tegnet inn. — Avstanden mellom to punkter i planet

Husker du hva formelen for avstanden mellom to punkter $A (x_{1}, y_{1})$ og $B (x_{2}, y_{2})$ i to dimensjoner er? Kan du finne den ut ifra figuren?

Avstand mellom punkter i planet

Avstanden, eller linjestykket $A B$ , danner hypotenusen i en rettvinklet trekant der den vannrette kateten har lengde $x_{2} - x_{1}$ og den loddrette kateten har lengde $y_{2} - y_{1}$ . Vi kan derfor bruke pytagorassetningen på sidene i trekanten, og lengden av hypotenusen blir derfor

$\begin{array}{rcl} A B^{2} & = & {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} \\ A B & = & \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} \end{array}$

Avstanden mellom to punkter i rommet

Formler for avstand mellom punkter i rommet er gitt i boksene under. Utledningen av formlene skal du gjøre i oppgave 5 og 6 på oppgavesiden. Det lønner seg å gjøre oppgavene før du ser for nøye på formlene i boksen!

Avstand $O P$ fra origo til punktet $P (x, y, z)$ :

$O P = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Avstanden $A B$ mellom punktene $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ :

$A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Vektorer i rommet

Punkter i et tredimensjonalt koordinatsystem med GeoGebra

Øvelse

Tenk over

Nytt punkt

Tenk over

Tilpasning av 3D-grafikkfeltet

Avstanden mellom to punkter

Avstanden mellom to punkter i xy-planet

Avstanden mellom to punkter i rommet