Fagstoff

Koordinatsystem i tre dimensjonar. Avstand mellom punkt

På vg1 og vg2 jobba du med koordinatsystem i to dimensjonar. Men verda er ikkje todimensjonal, og på vg3 blir matematikken tredimensjonal.

I matematikk R2 skal vi studere ulike objekt som vektorar, plan og kuler i tre dimensjonar eller i rommet, som vi òg seier. Når vi skal teikne desse objekta, bruker vi 3D-grafikkfeltet i GeoGebra.

Punkt i eit tredimensjonalt koordinatsystem med GeoGebra

Illustrasjon av eit koordinatsystem der punktet med koordinatane 3 og 2 er teikna inn. — Punkt i xy-planet

Øving

Vi byrjar i det vanlege todimensjonale koordinatsystemet og teiknar punktet $(3, 2)$ ved å skrive (3,2) i algebrafeltet i GeoGebra. Gå til innstillingane til punktet og endre slik at det er koordinatane til punktet (verdien) som blir vist, ikkje namnet. Då skal det vanlege todimensjonale grafikkfeltet i GeoGebra sjå ut omtrent som den øvste figuren.

Illustrasjon av eit tredimensjonalt koordinatsystem der eit punkt med koordinatane 3, 2 og 0 er teikna inn. Punktet ligg i xy-planet. — 3D-koordinatsystemet i GeoGebra med punkt

Slå på visning av 3D-grafikkfeltet. Då får vi eit nytt koordinatsystem der vi i tillegg til $x$ - og $y$ -aksen har fått ein tredje akse: $z$ -aksen. Dersom koordinataksane ikkje automatisk får namn, kan du høgreklikke på ein tom plass i 3D-grafikkfeltet, velje "Grafikkfelt 3D ..." og skrive inn namn på dei tre koordinataksane på den same måten som du gjer i det vanlege grafikkfeltet. Punktet vi skreiv inn, blir vist, og det ligg i det vi kallar $x y$ -planet, som er eitt av dei tre koordinatplana. Dobbeltklikk på punktet i 3D-grafikkfeltet. Då får plutseleg punktet ein tredje koordinat, 0. Sjå den andre figuren.

Den tredje koordinaten er $z$ -koordinaten til punktet når vi er i eit tredimensjonalt koordinatsystem.

Tenk over

Kva fortel $z$ -koordinaten til eit punkt?

Betydninga til z-koordinaten

$z$ -koordinaten fortel kor stor avstanden er til $x y$ -planet.

Skriv ei tilsvarande forklaring om kva $x$ - og $y$ -koordinaten til eit punkt fortel.

Betydninga til x- og y-koordinaten

$x$ -koordinaten fortel kor stor avstanden til $y z$ -planet er.
$y$ -koordinaten fortel kor stor avstanden til $x z$ -planet er.

Nytt punkt

Skriv inn punktet $(3, 2, 3)$ i algebrafeltet og kontroller at punktet blir vist i 3D-grafikkfeltet.

Kvifor blir ikkje det nye punktet vist i 2D-grafikkfeltet?

Forklaring

Punktet blir ikkje vist fordi det ikkje ligg i $x y$ -planet slik som det første punktet. Det todimensjonale grafikkfeltet til GeoGebra vil berre vise objekt som ligg i $x y$ -planet.

Tenk over

Er det lett å finne avstanden mellom punkta $(3, 2, 0)$ og $(3, 2, 3)$ ? Kva blir avstanden?

Avstand mellom punkta

Vi går no ut frå at det første punktet heiter $A$ og det andre $B$ . Sidan $B$ ligg rett over $A$ sett frå $x y$ -planet, må avstanden vere lik $z$ -koordinaten til $B$ , altså 3. For å kontrollere dette kan du skrive Avstand(A,B) i algebrafeltet eller i CAS-feltet (dersom punkta heiter $A$ og $B$ ).

Tilpassing av 3D-grafikkfeltet

Du kan rotere og flytte på det tredimensjonale koordinatsystemet i GeoGebra ved å "dra" med musepeikaren. Prøv dette:

Roter på aksane slik at du siktar langs $x y$ -planet.
Roter på aksane slik at du siktar ned langs $z$ -aksen i negativ retning, altså at du ser rett ned på $x y$ -planet. Ser du begge punkta no?
Hold Shift-knappen nede på tastaturet mens du dreg. Kva skjer?

Legg òg merke til at når 3D-grafikkfeltet er aktivt, kjem ei ny verktøyrad opp.

Avstanden mellom to punkt

Avstanden mellom to punkt i xy-planet

Illustrasjon av eit koordinatsystem utan tal på aksane der punktet A med koordinatane x 1 og y 1 og punktet B med koordinatane x 2 og y 2 er teikna. Linjestykket mellom dei to punkta er teikna inn. I tillegg er loddrette og vassrette linjestykke mellom punkta og dei to aksane teikna inn. — Avstanden mellom to punkt i planet

Hugsar du kva formelen for avstanden mellom to punkt $A (x_{1}, y_{1})$ og $B (x_{2}, y_{2})$ i to dimensjonar er? Kan du finne han ut ifrå figuren?

Avstand mellom punkt i planet

Avstanden, eller linjestykket $A B$ , dannar hypotenusen i ein rettvinkla trekant der den vassrette kateten har lengde $x_{2} - x_{1}$ og den loddrette kateten har lengde $y_{2} - y_{1}$ . Vi kan derfor bruke pytagorassetninga på sidene i trekanten, og lengda av hypotenusen blir derfor

$\begin{array}{rcl} A B^{2} & = & {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} \\ A B & = & \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} \end{array}$

Avstanden mellom to punkt i rommet

Formlar for avstand mellom punkt i rommet er gitt i boksane under. Utleiinga av formlane skal du gjere i oppgåve 5 og 6 på oppgåvesida. Det lønner seg å gjere oppgåvene før du ser for nøye på formlane i boksen!

Avstand $O P$ frå origo til punktet $P (x, y, z)$ :

$O P = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Avstanden $A B$ mellom punkta $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ :

$A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Vektorar i rommet

Punkt i eit tredimensjonalt koordinatsystem med GeoGebra

Øving

Tenk over

Nytt punkt

Tenk over

Tilpassing av 3D-grafikkfeltet

Avstanden mellom to punkt

Avstanden mellom to punkt i xy-planet

Avstanden mellom to punkt i rommet