Oppgave

Regning med vektorer

Her kan du regne med vektorer på pilform. I de to første oppgavene får du mulighet til å utforske addisjon med vektorer på egen hånd, så de to kan du jobbe med før du leser teorien.

4.1.10

En bil kjører 5 km mot øst. Så svinger den mot nord og kjører 4 km i denne retningen. Bilen dreier så og kjører 8 km mot vest.

a) Illustrer de aktuelle forflytningene med vektorer.

Løsning

Det er tegnet inn tre vektorer på hvit bakgrunn. Den ene er en pil som går rett til høyre med tekst 5 km øst/aust. I dennes endepunkt går en pil rett opp med tekst 4 km nord. Fra dennes endepunkt går en pil rett til venstre med tekst 8 km vest.

b) Tegn vektoren som viser luftlinja fra der bilen startet, til der den stopper.

Løsning

Det er tegnet inn fire vektorer på hvit bakgrunn. Den ene er en pil som går rett til høyre med tekst 5 km øst/aust. I dennes endepunkt går en pil rett opp med tekst 4 km nord. Fra dennes endepunkt går en pil rett til venstre med tekst 8 km vest. Den siste er en blå vektor som går fra det første startpunktet til det siste endepunktet. Skjermutklipp.

c) Kan du finne ut hvor langt det er i luftlinje?

Tips

Bruk Pytagoras!

Løsning

Vi får en rettvinklet trekant der luftlinje-vektoren er hypotenusen og de to katetene er 3 og 4 km lange:

$lengden = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Det er altså 5 km i luftlinje.

d) Vi kaller summen av forflytningene for resultantforflytningen. Kan du på dette grunnlaget foreslå en måte å summere vektorer på?

Løsning

Vi summerer vektorer ved å «henge dem etter hverandre». Summen av forflytningene starter der den første starter, og slutter der den siste slutter.

4.1.11

Bildet viser tre vektorer. u-vektor er tegnet fra punktet A (2,6) til B (6,12), og v-vektor er tegnet fra punktet C (8,8) til punktet D (14,4). w-vektor er vektorsummen u-vektor pluss v-vektor tegnet fra origo. Skjermutklipp.

Denne oppgaven har ikke fasit, her er det meningen at du skal utforske vektorsummer.

Tegn to vektorer som du kaller $\vec{u} og \vec{v}$ , i GeoGebra (bruk knappen på verktøylinja, slik at du får vektor mellom to punkter).

Skriv så inn i algebrafeltet: u+v. Nå får du en vektor $\vec{w}$ som er tegnet fra origo og er summen av de to vektorene du selv har tegnet. (Du får ikke piler over bokstavene uten å lage en tekstboks i GeoGebra, men det trenger du ikke å bruke tid på her.) På bildet ser du et eksempel på hvordan du kan tegne dem.

Ta tak i vektorene og flytt dem rundt i grafikkfeltet. Hva skjer med vektorsummen?
Ta tak i et av punktene på vektorene og dra i det slik at vektoren endres. Hva skjer nå med vektorsummen?
Prøv å lage $\vec{u}$ og $\vec{v}$ like lange, men i motsatt retning. Hva skjer med vektorsummen?
La vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$ stå vinkelrett på hverandre. Kan du finne lengden av $\vec{w}$ ved regning?

4.1.12

Vektorer som beskrevet i oppgave 4.1.11. Illustrasjon.

Vi har gitt vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ som på figuren til høyre.

Finn $\vec{a} + \vec{b} og \vec{b} + \vec{a}$ ved tegning. Hva observerer du?

Løsning

Vi observerer ved hjelp av tegning at de to vektorsummene blir identiske:

Vektorsum som beskrevet i oppgave 4.1.11. Illustrasjon

4.1.13

Vektorer som skal adderes. a-vektor går to skritt til høyre og to skritt opp. b-vektor går to skritt til høyre. c-vektor går ett skritt til venstre og tre skritt ned. Skjermutklipp.

Vi har gitt tre vektorer $\vec{a}, \vec{b} og \vec{c}$ i et koordinatsystem. Se figuren.

Tegn vektorene:

a) $\frac{1}{2} \vec{a} - 2 \vec{b}$

b) $\frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$

c) $\frac{3}{2} \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

Løsning

4.1.14

Vi har et rektangel ABCD. Tegn vektorene under, og skriv dem enklere hvis det er mulig:

a) $\vec{A B} + \vec{B C}$

b) $\vec{A D} + \vec{D C}$

c) $\vec{B C} - \vec{A C}$

d) $\vec{D C} - \vec{A C}$

e) $\vec{A B} - \vec{D C}$

Løsning

Rektangel ABCD med vektorene AB, BC, AD og DC tegnet inn. I tillegg er vektoren mellom A og C tegnet inn. Skjermutklipp.

a) $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

b) $\vec{A D} + \vec{D C} = \vec{A C}$

I rektangelet ABCD er vektorene BC, CA, CD, DA og BA tegnet inn. Skjermutklipp.

c) $\vec{B C} - \vec{A C} = \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{B A}$

d) $\vec{D C} - \vec{A C} = \vec{D C} + \vec{C A} = \vec{D A}$

e) $\vec{A B} - \vec{D C} = \vec{A B} - \vec{A B} = \vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$

4.1.15

Vi har gitt tre vektorer som vist på figuren til høyre.

Tegn vektorene:

a) $\vec{a} + \vec{b}$

b) $\vec{c} - \vec{a}$

c) $- \vec{b} - \vec{c}$

Løsning

De tre svarvektorene er tegnet inn. a+b-vektor går fire skritt til høyre og to skritt opp. c–a-vektor går tre skritt til venstre og fem skritt ned. –b–c-vektor går ett skritt til venstre og tre skritt opp. Skjermutklipp.

4.1.16

Det er vist seks vektorer. a-vektor går ett skritt rett til høyre. b-vektor går ett skritt rett opp. c-vektor går tre skritt rett til høyre. d-vektor går to skritt rett ned. e-vektor går ett skritt til høyre og to skritt ned. f-vektor går to skritt til høyre og to skritt opp. Skjermbilde.

Vi har gitt vektorene på bildet til høyre.

a) Uttrykk vektorene $\vec{c}, \vec{d}, \vec{e} og \vec{f}$ ved hjelp av vektorene $\vec{a} og \vec{b}$ .

b) Uttrykk vektorene $\vec{a} og \vec{b}$ ved hjelp av $\vec{c}, \vec{d}, \vec{e} og \vec{f}$ .

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{c} = 3 \vec{a} \\ \vec{d} = - 2 \vec{b} \\ \vec{e} = \vec{a} - 2 \vec{b} \\ \vec{f} = 2 \vec{a} + 2 \vec{b} = 2 (\vec{a} + \vec{b}) \end{array}$

b)
$\begin{array}{l} \vec{a} = \frac{1}{3} \vec{c} \\ \vec{b} = - \frac{1}{2} \vec{d} \end{array}$