Oppgave

Skalarproduktet

Her får du jobbe med oppgaver om skalarproduktet mellom vektorer på pilform.

4.1.20

I denne oppgaven skal du finne noen cosinusverdier du kommer til å trenge når du skal regne med skalarproduktet. Legg deg disse verdiene på minnet for resten av R1-kurset!

Vi har en trekant med vinkler på 30°, 60° og 90°, hvor lengden til den korteste kateten er 1.

a) Finn den eksakte lengden til de andre sidene i trekanten.

Løsning

I en «30, 60, 90»-trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten. I denne trekanten blir lengden 2. Den andre kateten finner vi ved hjelp av Pytagoras-setningen:

$\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$

b) Bestem de eksakte verdiene til cos 30° og cos 60°.

Løsning

$\begin{array}{l} \cos 30 ° = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos 60 ° = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{1}{2} \end{array}$

Vi har en likebeint, rettvinklet trekant der lengden til katetene er 1.

c) Finn den eksakte lengden til hypotenusen.

Løsning

Vi bruker Pytagoras-setningen:

$h = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$

d) Bestem cos 45°.

Løsning

$\cos 45 ° = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$

4.1.21

Om to vektorer, $\vec{p} og \vec{q}$ , får du vite at $|\vec{p}| = 7, |\vec{q}| = 3 og ∠ (\vec{p}, \vec{q}) = 30 °$

a) Regn ut $\vec{p} \cdot \vec{q}$ og $\vec{q} \cdot \vec{p}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{p} \cdot \vec{q} & = & |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos ∠ (\vec{p}, \vec{q}) \\ = & 7 \cdot 3 \cdot \cos 30 ° \\ = & 21 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{21 \cdot \sqrt{3}}{2} \\ \vec{q} \cdot \vec{p} & = & |\vec{q}| \cdot |\vec{p}| \cdot \cos ∠ (\vec{q}, \vec{p}) \\ = & 3 \cdot 7 \cdot \cos 30 ° \\ = & 21 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{21 \cdot \sqrt{3}}{2} \end{array}$

b) Finn ${\vec{p}}^{2}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} {\vec{p}}^{2} & = & \vec{p} \cdot \vec{p} \\ = & |\vec{p}| \cdot |\vec{p}| \cdot \cos ∠ (\vec{p}, \vec{p}) \\ = & 7 \cdot 7 \cdot \cos 0 ° \\ = & 49 \cdot 1 \\ = & 49 \end{array}$

c) Finn ${\vec{q}}^{2}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} {\vec{q}}^{2} & = & \vec{q} \cdot \vec{q} \\ = & |\vec{q}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos ∠ (\vec{q}, \vec{q}) \\ = & 3 \cdot 3 \cdot \cos 0 ° \\ = & 9 \cdot 1 \\ = & 9 \end{array}$

4.1.22

Vi har vektorene $\vec{a} og \vec{b} der |\vec{a}| = 12, ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60 ° og \vec{a} \cdot \vec{b} = 24$ .

Finn lengden til $\vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) \\ 24 & = & 12 \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 60 ° \\ |\vec{b}| & = & \frac{24}{12 \cdot \cos 60 °} \\ = & \frac{24}{6} = 4 \end{array}$

4.1.23

Vi har gitt at ${\begin{array}{rcl} \vec{u} \end{array}}^{2} = 16$ .
Finn $|\begin{array}{rcl} \vec{u} \end{array}|$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} 16 & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{u}| \cdot \cos 0 ° \\ {|\vec{u}|}^{2} & = & \frac{16}{\cos 0 °} \\ = & 16 \\ |\vec{u}| & = & \sqrt{16} = 4 \end{array}$

4.1.24

Vi har vektorene $\vec{a} og \vec{b} der |\vec{a}| = 12 og |\vec{b}| = 5 .$ Skalarproduktet mellom $\vec{a} og \vec{b} er 30$ . Finn vinkelen mellom $\vec{a} og \vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} 30 & = & 12 \cdot 5 \cdot \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) \\ \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) & = & \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \\ ∠ (\vec{a}, \vec{b}) & = & 60 ° \end{array}$

4.1.25

Vi har vektorene $\vec{a} og \vec{b} der |\vec{a}| = 3 og |\vec{b}| = 8 .$

Finn skalarproduktet mellom $\vec{a} og \vec{b}$ når

a) $∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 0 °$

b) $∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 30 °$

c) $∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 45 °$

d) $∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60 °$

e) $∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 90 °$

f) $∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 120 °$

g) $∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 135 °$

h) $∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 150 °$

i) $∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 180 °$

Kan du se noe mønster i svarene på denne oppgaven?

Løsning

$\begin{array}{l} a) \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 \cdot \cos 0 ° = 3 \cdot 8 \cdot 1 = 24 \\ b) \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 \cdot \cos 30 ° = 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3} \\ c) \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 \cdot \cos 45 ° = 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = 12 \sqrt{2} \\ d) \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 \cdot \cos 60 ° = 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 12 \\ e) \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 \cdot \cos 90 ° = 3 \cdot 8 \cdot 0 = 0 \\ f) \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 \cdot \cos 120 ° = 3 \cdot 8 \cdot (- \cos 60 °) = 3 \cdot 8 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 12 \\ g) \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 \cdot \cos 135 ° = 3 \cdot 8 \cdot (- \cos 45 °) = 3 \cdot 8 \cdot (- \frac{1}{2} \sqrt{2}) = - 12 \sqrt{2} \\ h) \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 \cdot \cos 150 ° = 3 \cdot 8 \cdot (- \cos 30 °) = 3 \cdot 8 \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - 12 \sqrt{3} \\ i) \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 \cdot \cos 180 ° = 3 \cdot 8 \cdot (- 1) = - 24 \end{array}$

Vi kan se at skalarproduktet er størst når vinkelen er 0° grader og minst når vinkelen er 180°. Vi legger merke til at skalarproduktet er 0 når vinkelen er 90°, og at skalarproduktet er positivt for spisse vinkler og negativt for stumpe vinkler.

4.1.26

Vi har vektorene $\vec{a} og \vec{b} der |\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 4 og ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60 °$ .

Regn ut $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) + 2 \vec{a} \cdot 3 \vec{b}$ .

Løsning

Vi har at

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 \cdot \cos 60 ° = 10$

${\vec{a}}^{2} = 5 \cdot 5 \cdot \cos 0 ° = 25$

Dermed får vi at:

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) + 2 \vec{a} \cdot 3 \vec{b} & = & {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + 6 \vec{a} \cdot \vec{b} \\ = & {\vec{a}}^{2} + 8 \vec{a} \cdot \vec{b} \\ = & 25 + 8 \cdot 10 \\ = & 105 \end{array}$

4.1.27

Vi har vektorene $\vec{a} og \vec{b} der |\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4 og ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60 °$

Vektorene $\vec{u} og \vec{v}$ er gitt ved $\vec{u} = \vec{a} + 2 \vec{b} og \vec{v} = 3 \vec{a} - 4 \vec{b} .$

a) Finn $\vec{a} \cdot \vec{b}, {\vec{a}}^{2} og {\vec{b}}^{2}$ .

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60 ° = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 6 \\ {\vec{a}}^{2} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos ∠ (\vec{a}, \vec{a}) = 3 \cdot 3 \cdot \cos 0 ° = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9 \\ {\vec{b}}^{2} = |\vec{b}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos ∠ (\vec{b}, \vec{b}) = 4 \cdot 4 \cdot \cos 0 ° = 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 \end{array}$

b) Finn $|\vec{u}| og |\vec{v}|$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} |\vec{u}| & = & \sqrt{{(\vec{a} + 2 \vec{b})}^{2}} \\ = & \sqrt{{\vec{a}}^{2} + 4 \vec{a \cdot} \vec{b} + 4 {\vec{b}}^{2}} \\ = & \sqrt{9 + 4 \cdot 6 + 4 \cdot 16} \\ = & \sqrt{97} \\ |\vec{v}| & = & \sqrt{{(3 \vec{a} - 4 \vec{b})}^{2}} \\ = & \sqrt{9 {\vec{a}}^{2} - 24 \vec{a \cdot} \vec{b} + 16 {\vec{b}}^{2}} \\ = & \sqrt{9 \cdot 9 - 24 \cdot 6 + 16 \cdot 16} \\ = & \sqrt{193} \end{array}$

c) Finn $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & (\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (3 \vec{a} - 4 \vec{b}) \\ = & 3 {\vec{a}}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 6 \vec{a} \cdot \vec{b} - 8 {\vec{b}}^{2} \\ = & 3 {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} - 8 {\vec{b}}^{2} \\ = & 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 - 8 \cdot 16 \\ = & - 89 \end{array}$

d) Finn vinkelen mellom $\vec{u} og \vec{v}$ .

Løsning

Vi bruker opplysningene fra b) og c):

$\begin{array}{l} \cos ∠ (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{- 89}{\sqrt{97} \cdot \sqrt{193}} \\ ∠ (\vec{u}, \vec{v}) = 130, 6 ° \end{array}$

4.1.28

La $|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 3, ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60 °$ .

Vi har vektorene $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ og $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$ .

a) Finn lengden til vektorene $\vec{u} og \vec{v}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} |\vec{u}| & = & \sqrt{{\vec{u}}^{2}} \\ {\vec{u}}^{2} & = & (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ = & {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a \cdot} \vec{b} + {\vec{b}}^{2} \\ = & 5^{2} + 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 60 ° + 3^{2} \\ = & 49 \\ |\vec{u}| & = & \sqrt{49} = 7 \\ |\vec{v}| & = & \sqrt{{\vec{v}}^{2}} \\ {\vec{v}}^{2} & = & (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \\ = & {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} \vec{\cdot b} + {\vec{a}}^{2} \\ = & 5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 60 ° + 3^{2} \\ = & 19 \\ |\vec{v}| & = & \sqrt{19} \end{array}$

b) Finn vinkelen mellom $\vec{u} og \vec{v}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos ∠ (\vec{u}, \vec{v}) \\ \cos ∠ (\vec{u}, \vec{v}) & = & \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \\ = & \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (a - b)}{7 \cdot \sqrt{19}} \\ = & \frac{{\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}}{7 \cdot \sqrt{19}} \\ = & \frac{25 - 9}{7 \cdot \sqrt{19}} \\ ∠ (\vec{u}, \vec{v}) & = & 58, 4 ° \end{array}$