Oppgåve

Rekning med vektorar

Her kan du rekne med vektorar på pilform. I dei to første oppgåvene får du høve til å utforske addisjon med vektorar på eiga hand, så dei to kan du jobbe med før du les teorien.

4.1.10

Ein bil køyrer 5 km mot aust. Så svingar han mot nord og køyrer 4 km i denne retninga. Bilen dreier så og køyrer 8 km mot vest.

a) Illustrer dei aktuelle forflyttingane med vektorar.

Løysing

Det er teikna inn tre vektorar på kvit bakgrunn. Den eine er ei pil som går rett til høgre med teksten «5 km øst/aust». I endepunkta av ho går ei pil rett opp med teksten «4 km nord». Frå endepunktet av ho går ei pil rett til venstre med teksten «8 km vest».

b) Teikn vektoren som viser luftlinja frå der bilen starta, til der han stoppar.

Løysing

Det er teikna inn fire vektorar på kvit bakgrunn. Den eine er ei pil som går rett til høgre med teksten «5 km øst/aust». I endepunktet av ho går ei pil rett opp med teksten «4 km nord». Frå endepunktet av ho går ei pil rett til venstre med teksten «8 km vest». Den siste er ein blå vektor som går frå det første startpunktet til det siste endepunktet. Skjermutklipp.

c) Kan du finne ut kor langt det er i luftlinje?

Tips

Bruk Pytagoras!

Løysing

Vi får ein rettvinkla trekant der luftlinje-vektoren er hypotenusen og dei to katetane er 3 og 4 km lange:

$lengda = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Det er altså 5 km i luftlinje.

d) Vi kallar summen av forflyttingane for resultantforflyttinga. Kan du på dette grunnlaget føreslå ein måte å summere vektorar på?

Løysing

Vi summerer vektorar ved å «hengje dei etter kvarandre». Summen av forflyttingane startar der den første startar, og sluttar der den siste sluttar.

4.1.11

Biletet viser tre vektorar. u-vektor er teikna frå punktet A (2,6) til B (6,12), og v-vektor er teikna frå punktet C (8,8) til punktet D (14,4). w-vektor er vektorsummen u-vektor pluss v-vektor teikna frå origo. Skjermutklipp.

Denne oppgåva har ikkje fasit, her er det meininga at du skal utforske vektorsummar.

Teikn to vektorar som du kallar $\vec{u} og \vec{v}$ , i GeoGebra (bruk knappen på verktøylinja, slik at du får vektor mellom to punkt).

Skriv så inn i algebrafeltet: u+v. No får du ein vektor $\vec{w}$ som er teikna frå origo og er summen av dei to vektorane du sjølv har teikna. (Du får ikkje piler over bokstavane utan å lage ein tekstboks i GeoGebra, men det treng du ikkje å bruke tid på her.) På biletet ser du eit døme på korleis du kan teikne dei.

Ta tak i vektorane og flytt dei rundt i grafikkfeltet. Kva skjer med vektorsummen?
Ta tak i eit av punkta på vektorane og dra i det slik at vektoren endrar seg. Kva skjer no med vektorsummen?
Prøv å lage $\vec{u}$ og $\vec{v}$ like lange, men i motsett retning. Kva skjer med vektorsummen?
La vektorane $\vec{u}$ og $\vec{v}$ stå vinkelrett på kvarandre. Kan du finne lengda av $\vec{w}$ ved rekning?

4.1.12

Vektorar som beskrivne i oppgåve 4.1.11. Illustrasjon.

Vi har gitt vektorane $\vec{a}$ og $\vec{b}$ som på figuren til høgre.

Finn $\vec{a} + \vec{b} og \vec{b} + \vec{a}$ ved teikning. Kva observerer du?

Løysing

Vi observerer ved hjelp av teikning at dei to vektorsummane blir identiske:

Vektorsum som beskriven i oppgåve 4.1.11. Illustrasjon

4.1.13

Vektorar som skal adderast. a-vektor går to skritt til høgre og to skritt opp. b-vektor går to skritt til høgre. c-vektor går eitt skritt til venstre og tre skritt ned. Skjermutklipp.

Vi har gitt tre vektorar $\vec{a}, \vec{b} og \vec{c}$ i eit koordinatsystem. Sjå figuren.

Teikn vektorane:

a) $\frac{1}{2} \vec{a} - 2 \vec{b}$

b) $\frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$

c) $\frac{3}{2} \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

Løysing

4.1.14

Vi har eit rektangel ABCD. Teikn vektorane under, og skriv dei enklare om det er mogleg:

a) $\vec{A B} + \vec{B C}$

b) $\vec{A D} + \vec{D C}$

c) $\vec{B C} - \vec{A C}$

d) $\vec{D C} - \vec{A C}$

e) $\vec{A B} - \vec{D C}$

Løysing

Rektangel ABCD med vektorane AB, BC, AD og DC teikna inn. I tillegg er vektoren mellom A og C teikna inn. Skjermutklipp.

a) $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

b) $\vec{A D} + \vec{D C} = \vec{A C}$

I rektangelet ABCD er vektorane BC, CA, CD, DA og BA teikna inn. Skjermutklipp.

c) $\vec{B C} - \vec{A C} = \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{B A}$

d) $\vec{D C} - \vec{A C} = \vec{D C} + \vec{C A} = \vec{D A}$

e) $\vec{A B} - \vec{D C} = \vec{A B} - \vec{A B} = \vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$

4.1.15

Vi har gitt tre vektorar som vist på figuren til høgre.

Teikn vektorane:

a) $\vec{a} + \vec{b}$

b) $\vec{c} - \vec{a}$

c) $- \vec{b} - \vec{c}$

Løysing

Dei tre svarvektorane er teikna inn. a+b-vektor går fire skritt til høgre og to skritt opp. c–a-vektor går tre skritt til venstre og fem skritt ned. –b–c-vektor går eitt skritt til venstre og tre skritt opp. Skjermutklipp.

4.1.16

Det er vist seks vektorar. a-vektor går eitt skritt rett til høgre. b-vektor går eitt skritt rett opp. c-vektor går tre skritt rett til høgre. d-vektor går to skritt rett ned. e-vektor går eitt skritt til høgre og to skritt ned. f-vektor går to skritt til høgre og to skritt opp. Skjermbilete.

Vi har gitt vektorane på biletet til høgre.

a) Uttrykk vektorane $\vec{c}, \vec{d}, \vec{e} og \vec{f}$ ved hjelp av vektorane $\vec{a} og \vec{b}$ .

b) Uttrykk vektorane $\vec{a} og \vec{b}$ ved hjelp av $\vec{c}, \vec{d}, \vec{e} og \vec{f}$ .

Løysing

$\begin{array}{l} \vec{c} = 3 \vec{a} \\ \vec{d} = - 2 \vec{b} \\ \vec{e} = \vec{a} - 2 \vec{b} \\ \vec{f} = 2 \vec{a} + 2 \vec{b} = 2 (\vec{a} + \vec{b}) \end{array}$

b)
$\begin{array}{l} \vec{a} = \frac{1}{3} \vec{c} \\ \vec{b} = - \frac{1}{2} \vec{d} \end{array}$