Oppgave

Parameterframstillinger for linjer

Her kan du jobbe med oppgaver om parameterframstillinger for linjer.

4.4.1

Ei linje $l$ går gjennom punktene $A (2, 2)$ og $B (3, 4)$ .

a) Finn en retningsvektor for linja.

Løsning

Vi bruker $\vec{A B}$ :

$\vec{r_{l}} = \vec{A B} = [3 - 2, 4 - 2] = [1, 2]$

b) Finn stigningstallet for linja ved å se på retningsvektoren.

Løsning

Vi finner stigningstallet til ei linje ved å dele endringen i $y$ på endringen i $x$ . Det betyr at vi kan finne stigningstallet til ei linje ved å dele $y$ -komponenten i retningsvektoren på $x$ -komponenten:

$stigningstallet = \frac{y_{\vec{r_{l}}}}{x_{\vec{r_{l}}}} = \frac{2}{1} = 2$

c) Bruk punktet $A$ og retningsvektoren du fant i a) til å lage en parameterframstilling for linja.

Løsning

$l : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 + 2 t \end{cases}$

d) Vis at punktet $B$ ligger på linja.

Løsning

Hvis $B$ skal ligge på linja, må vi finne en $t$ slik at begge koordinatene til $B$ passer i parameterframstillingen til $l$ . Vi setter først $x = 3$ , og så sjekker vi om den $t$ -verdien vi da får gir $y = 4$ :

$\begin{array}{l} x = 2 + t \\ 3 = 2 + t \\ t = 1 \\ y = 2 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4 \end{array}$

Vi ser at punktet $B$ ligger på linja.

4.4.2

Vi har gitt linja $m : \{\begin{cases} x = 3 - 2 t \\ y = 1 + t \end{cases}$ .

a) Tegn linja i et koordinatsystem – både for hånd og i GeoGebra.

Løsning

For å tegne linja for hånd trenger vi ett punkt i tillegg til startpunktet i parameterframstillingen, som er $(3, 1)$ .

Vi setter inn $t = 1$ :

$\begin{array}{l} x = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1 \\ y = 1 + 1 = 2 \end{array}$

Vi tegner inn de to punktene og trekker linja mellom dem.

For å tegne linja i GeoGebra skriver vi

Kurve(3-2t,1+t,t,-3,3)

for å få fram linja. Husk at vi må velge et intervall for $t$ for at GeoGebra skal kunne tegne linja.

Ei rett linje i et koordinatsystem som går gjennom punktene parentes 1 komma 2 parentes slutt og parentes 3 komma 1 parentes slutt. Parameterframstillingen til linja står i bildet, den er a kolon x er lik 3 minus 2 t, y er lik 1 pluss t, for t-verdier større enn eller lik minus 3 og mindre enn eller lik 3. Skjermutklipp.

b) Finn en parameterframstilling for ei linje som går gjennom punktet $(2, 2)$ og er parallell med $m$ .

Løsning

Vi bruker den samme retningsvektoren som i $m$ :

$\{\begin{cases} x = 2 - 2 t \\ y = 2 + t \end{cases}$

c) Forklar at linja $l : \{\begin{cases} x = 1 - 4 t \\ y = 4 + 2 t \end{cases}$ er parallell med $m$ .

Løsning

Vi ser på retningsvektorene til linjene:

$\vec{r_{l}} = [- 4, 2] = 2 \cdot [- 2, 1] = 2 \cdot \vec{r_{m}}$

Siden retningsvektorene er parallelle, er også linjene parallelle.

d) Forklar at linja $n : \{\begin{cases} x = 1 - 6 t \\ y = 2 + 3 t \end{cases}$ er den samme linja som $m$ .

Løsning

Vi ser at punktet (1,2) ligger både på $m$ og $n$ . I tillegg har vi at de to vektorene er parallelle. Dermed er de to linjene identiske.

e) Forklar at linja $p : \{\begin{cases} x = 3 - t \\ y = 1 - 2 t \end{cases}$ står vinkelrett på $m$ .

Løsning

To linjer står vinkelrett på hverandre dersom de to retningsvektorene står vinkelrett på hverandre. Vi viser at skalarproduktet mellom de to retningsvektorene er lik 0:

$[- 2, 1] \cdot [- 1, - 2] = (- 2) \cdot (- 1) + 1 \cdot (- 2) = 2 - 2 = 0$

4.4.3

Ei linje $l$ går gjennom punktet $A (3, - 2)$ og har retningsvektoren $\vec{r} = [- 5, 2]$ .

a) Finn en parameterframstilling for linja.

Løsning

$l : \{\begin{cases} x = 3 - 5 t \\ y = - 2 + 2 t \end{cases}$

b) Undersøk om punktene $B (- 2, 0)$ og $C (2, 4)$ ligger på linja.

Løsning

Vi undersøker $B$ først:

$\begin{array}{l} - 2 = 3 - 5 t \\ - 5 = - 5 t \\ t = 1 \\ y = - 2 + 2 \cdot 1 = - 2 + 2 = 0 \end{array}$

$B$ ligger altså på linja.

Så undersøker vi $C$ :

$\begin{array}{l} 2 = 3 - 5 t \\ - 1 = - 5 t \\ t = \frac{1}{5} \\ y = - 2 + 2 \cdot \frac{1}{5} = - 2 + \frac{2}{5} \neq 4 \end{array}$

Vi ser at $C$ ikke ligger på linja.

Parameterframstillinger til linjer i planet

4.4.1

4.4.2

4.4.3