Oppgave

Skjæring med koordinataksene. Linja på likningsform.

Her kan du jobbe med oppgaver om skjæring med koordinataksene og om å gjøre om uttrykket for ei linje fra parameterframstilling til likningsform.

4.4.10

Vi har gitt linja $m : \{\begin{cases} x = 3 - 2 t \\ y = 1 + t \end{cases}$ .

a) Finn skjæringspunktene med $x$ -aksen og $y$ -aksen.

Løsning

For å finne skjæringen med $x$ -aksen setter vi $y$ lik 0:

$\begin{array}{l} 1 + t = 0 \\ t = - 1 \\ x = 3 - 2 \cdot (- 1) = 3 + 2 = 5 \end{array}$

Skjæringspunktet med $x$ -aksen er altså $(5, 0)$ .

For å finne skjæringen med $y$ -aksen setter vi $x$ lik 0:

$\begin{array}{l} 3 - 2 t = 0 \\ 3 = 2 t \\ t = \frac{3}{2} \\ y = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \end{array}$

Skjæringen med $y$ -aksen er $(0, \frac{5}{2})$ .

b) Ei linje $l$ går gjennom punktet $A (2, 4)$ og er parallell med $m$ . Finn skjæringspunktene mellom $l$ og aksene.

Løsning

Vi finner først en parameterframstilling for linja:

$l : = \{\begin{cases} x = 2 - 2 t \\ y = 4 + t \end{cases}$

Så finner vi skjæringspunktene på samme måte som i a).

$\begin{array}{l} x = 2 - 2 t = 0 \\ 2 t = 2 \\ t = 1 \\ y = 4 + 1 = 5 \\ y = 4 + t = 0 \\ t = - 4 \\ x = 2 - 2 \cdot (- 4) = 2 + 8 = 10 \end{array}$

Skjæringspunktene er altså $(0, 5)$ og $(10, 0)$ .

4.4.11

Ei linje $l$ skjærer $x$ -aksen i punktet $A (2, 0)$ og har stigningstall 3.

a) Finn en retningsvektor for linja.

Løsning

Siden linja har stigningstall 3, betyr det at hvis man går ett skritt på $x$ -aksen, må man gå 3 skritt på $y$ -aksen. Da kan vi bruke vektoren $\vec{r} = [1, 3]$ .

b) Finn en parameterframstilling for linja.

Løsning

$l : = \{\begin{cases} x = 2 + 1 t \\ y = 0 + 3 t \end{cases} = \{\begin{cases} 2 + t \\ 3 t \end{cases}$

c) Finn skjæringspunktet med $y$ -aksen.

Løsning

Vi setter $x$ lik 0:

$\begin{array}{l} 2 + t = 0 \\ t = - 2 \\ y = 3 \cdot (- 2) = - 6 \end{array}$

d) Bruk opplysningene i oppgaven og i c) til å sette opp likningen for linja.

Løsning

Vi har at linja krysser $y$ -aksen i $(0, - 6)$ og har stigningstallet 3. Det gir likningen

$y = 3 x - 6$

4.4.12

Vi har gitt punktene $A (1, 5)$ og $B (5, 1)$ .

a) Finn en parameterframstilling for linja $l$ som går gjennom $A$ og $B$ .

Løsning

Vi finner først en retningsvektor for linja:

$\vec{A B} = [5 - 1, 1 - 5] = [4, - 4]$

Vi kan bruke denne vektoren, men vi kan også bruke en hvilken som helst vektor som er parallell med denne. Det kan ofte være lurt å "forkorte" vektoren, så vi bruker
${\vec{r}}_{l} = \frac{1}{4} [4, - 4] = [1, - 1]$ .

Dette gir følgende parameterframstilling:

$l : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 5 - t \end{cases}$

b) Finn likningsframstillingen for linja med utgangspunkt i parameterframstillingen.

Løsning

Vi finner et uttrykk for $t$ ved hjelp av den ene variabelen. Her velger vi $x$ :

$\begin{array}{l} x = 1 + t \\ t = x - 1 \\ y = 5 - (x - 1) = 5 - x + 1 \\ y = - x + 6 \end{array}$

c) Bruk ettpunktsformelen for å bekrefte svaret du fikk i b).

Løsning

$\begin{array}{l} stigningstall = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{1 - 5}{5 - 1} = \frac{- 4}{4} = - 1 \\ y - y_{1} = a (x - x_{1}) \\ y - 5 = - 1 (x - 1) \\ y = - x + 1 + 5 \\ y = - x + 6 \end{array}$

Parameterframstillinger til linjer i planet

4.4.10

4.4.11

4.4.12