Å anvende parameterframstillinger

Vi begynner med linje $l$:

$\begin{array}{llll}x=0& & & y=0\\ 2t=0& & & 2-t=0\\ t=0& & & t=2\\ y=2-0=2& & & x=2·2=4\end{array}$

Linja $l$ sine skjæringspunkter med aksene er $(0,2)$ og $(4,0)$.

$\begin{array}{lll}x=0& & y=0\\ 3+s=0& & 2+s=0\\ s=-3& & s=-2\\ y=2+\left(-3\right)=-1& & x=3+\left(-2\right)=1\end{array}$

Linja $m$ sine skjæringspunkter med aksene er $(0,-1)$ og $(1,0)$.

$\begin{array}{lll}2t=3+s& 2-t=2+s& \\ s=2t-3& 2-t=2+\left(2t-3\right)& \\ & 3=3t\Rightarrow t=1& \\ & & \\ x=2·1=2& & \\ y=2-1=1& & \end{array}$

Skjæringspunktet er $(2,1)$.

For at kulene skal være på det samme stedet samtidig, må $s = t$ i skjæringspunktet:

$\begin{array}{lll}2t=3+s& 2-t=2+s& \\ s=2t-3& 2-t=2+\left(2t-3\right)& \\ & 3=3t\Rightarrow t=1& \\ s=2·1-3=-1& & \end{array}$

Vi ser at de to parameterne ikke er like, altså er ikke kulene i skjæringspunktet samtidig.

Vi finner farten ved å finne lengden av fartsvektorene.

Først $l$:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{l}\left(t\right) & =& \left[2t,2-t\right]\\ {\overrightarrow{l}}^{ \text{'}}\left(t\right) & =& \left[2,-1\right]\\ v & =& \sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{5}\\ & & \end{array}$

Kula sin fart er $\sqrt{5} \mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Så $m$:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{m}\left(s\right) & =& \left[3+s,2+s\right]\\ {\overrightarrow{m}}^{\text{'}}\left(s\right) & =& \left[1,1\right]\\ v & =& \sqrt{1^2+1^2}\\ & =& \sqrt{2}\end{array}$

Denne kula sin fart er $\sqrt{2} \mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Vi bytter parameter i den ene linja og løser likningssystemet:

$\begin{array}{lll}5t=15+3s& 2t=20-3s& \\ t=3+\frac{3}{5}s& 2\left(3+\frac{3}{5}s\right)=20-3s& \\ & 6+\frac{6}{5}s=20-3s\Rightarrow s=\frac{10}{3}& \\ x=15+3·\frac{10}{3}=25& & \\ y=20-3·\frac{10}{3}=10& & \end{array}$

Vi har at koordinatene til det felles busstoppet er $(25,10)$.

Hvis bussene skal være på busstoppet samtidig, må det finnes en $t$ slik at begge linjene gir punktet $(25,10)$. Vi vet at $\frac{10}{3}$ gir dette for linje $b$. Vi sjekker for linje $a$:

$\begin{array}{l}x=5·\frac{10}{3}=\frac{50}{3}\ne 25\\ y=2·\frac{10}{3}=\frac{20}{3}\ne 10\end{array}$

Bussene er altså ikke på busstoppet samtidig.

Vi vet at bussen fra stasjon $B$ bruker 3 minutter og 20 sekunder til det felles busstoppet. (Dette vet vi fordi  $t=\frac{10}{3}$.)

Vi finner ut hva $t$ er i møtepunktet for bussen som kommer fra sentralstasjonen:

$\begin{array}{l}x=5·t=25\\ y=2·t=10\\ t=5\end{array}$

Bussen fra sentralstasjonen er på møtepunktet klokka 15.25, det vil si at bussen fra stasjon $B$ må gå tidligst 15.21.40 fra stasjonen.

Her opererer vi med konstant fart, selv om vi vet at busser stopper på busstoppene:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}\left(t\right) & =& \left[5t,2t\right]\\ {\overrightarrow{a}}^{\text{'}}\left(t\right) & =& \left[5,2\right]\\ v & =& \sqrt{5^2+2^2}\\ & =& \sqrt{29}=5,38\approx 5,4\end{array}$

Siden enheten på aksene er 100 m og parameteren $t$ står for minutter, betyr det at bussen beveger seg 540 m per minutt. Vi gjør om til $\mathrm{km}/\mathrm{h}$:

$\begin{array}{rcl}1\min & =& \frac{1}{60}\mathrm{h}\\ 540\mathrm{m} & =& 0,54\mathrm{km}\\ 0,54\mathrm{km}/\min & =& \frac{0,54\mathrm{km}}{{\displaystyle \frac{1}{60}}\mathrm{h}}\\ & =& 32,4\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ & & \end{array}$

Vi finner en retningsvektor:

$\begin{array}{l}{\overrightarrow{r}}_l=\overrightarrow{AB}=\left[2-\left(-3\right),3-4\right]=\left[5,-1\right]\\ l:\left\{\begin{array}{l}x=2+5t\\ y=3-t\end{array}\right.\end{array}$

Her valgte vi punkt $B$ som utgangspunkt for parameterframstillingen, men vi kunne også ha valgt $A$:

$l:\left\{\begin{array}{l}x=-3+5t\\ y=4-t\end{array}\right.$

$m:\left\{\begin{array}{l}x=0+7s\\ y=0+2s\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}x=7s\\ y=2s\end{array}\right.$

$\begin{array}{llll}2+5t=7s& & 3-t=2s& \\ & & t=3-2s& \\ 2+5\left(3-2s\right)=7s& & & \\ 17=17s\Rightarrow s=1& & & \\ & & & \\ x=7& & & \\ y=2& & & \end{array}$

Skjæringspunktet er $(7,2)$.

Vi må finne en vektor som står vinkelrett på retningsvektoren til $l$. Vi vet at vektorene $\left[x,y\right] \mathrm{og} \left[-y,x\right]$ er ortogonale, så vi kan bruke følgende vektor:

${\overrightarrow{r}}_n=\left[1,5\right]$

Vi må først finne en parameterframstilling for linja:

$n:\left\{\begin{array}{l}x=7+s\\ y=2+5s\end{array}\right.$

Så setter vi de to koordinatene lik 0 for å finne skjæringspunktene:

$\begin{array}{l}x=7+s=0\\ s=-7\\ y=2+5·\left(-7\right)=2-35=-33\\ \\ y=2+5s=0\\ s=-\frac{2}{5}\\ x=7+\left(-\frac{2}{5}\right)=\frac{33}{5}\end{array}$

Skjæringspunktene er altså $(0,-33)$ og $\left(\frac{33}{5},0\right).$

Vi skriver Kurve(20t,2+20t-4.9t2,t,0,5) i GeoGebra og får denne kurven:

Spydet treffer bakken når  $y=0$. Vi løser likningen (løs den gjerne i CAS):

$\begin{array}{c}2+20t+4,9t^2=0\\ t=-0,1\vee t=4,18\end{array}$

Vi kan bare bruke den positive løsningen, så spydet lander etter cirka 4,18 sekunder.

Lengden på kastet finner vi ved å sette inn  $t=4,18$  i $x$-koordinaten.

Her må vi finne ekstremalpunktet til kurven. I en vanlig funksjon gjør vi dette ved å sette den deriverte lik 0, og det gjør vi også i en vektorfunksjon. Siden det er høyden vi skal finne, er det $y$-koordinaten vi må derivere:

$\begin{array}{rcl}{\left(2+20t-4,9t^2\right)}^{\text{'}} & =& 0\\ t & =& 2,04\end{array}$

Vi setter inn i $y$-koordinaten:

$\begin{array}{rcl}y & =& 2+20·2,04-4,9·2,{04}^2\\ & =& 22,41\\ & \approx & 22,4\end{array}$

Vi ser at spydet er på sitt høyeste etter cirka 2 sekunder, og at spydet er cirka 22,4 m over bakken da.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{s}\left(t\right)& =& \left[20t,2+20t-4,9t^2\right]\\ \overrightarrow{v}\left(t\right) & =& {\overrightarrow{s}}^{ \text{'}}\left(t\right)=\left[20,20-9,8t\right]\\ \overrightarrow{a}\left(t\right) & =& {\overrightarrow{s}}^{ \text{'}\text{'}}\left(t\right)={\overrightarrow{v}}^{ \text{'}}\left(t\right)=\left[0,-9,8\right]\\ a & =& \left|\overrightarrow{a}\left(t\right)\right|\\ & =& \sqrt{0^2+{\left(-9,8\right)}^2}\\ & =& \sqrt{9,8^2}\\ & =& 9,8\end{array}$

Akselerasjonen er altså 9,8 m/s².