Oppgåve

Parameterframstillingar for linjer

Her kan du jobbe med oppgåver om parameterframstillingar for linjer.

4.4.1

Ei linje $l$ går gjennom punkta $A (2, 2)$ og $B (3, 4)$ .

a) Finn ein retningsvektor for linja.

Løysing

Vi bruker $\vec{A B}$ :

$\vec{r_{l}} = \vec{A B} = [3 - 2, 4 - 2] = [1, 2]$

b) Finn stigingstalet for linja ved å sjå på retningsvektoren.

Løysing

Vi finn stigingstalet til ei linje ved å dele endringa i $y$ på endringa i $x$ . Det betyr at vi kan finne stigingstalet til ei linje ved å dele $y$ -komponenten i retningsvektoren på $x$ -komponenten:

$stigingstalet = \frac{y_{\vec{r_{l}}}}{x_{\vec{r_{l}}}} = \frac{2}{1} = 2$

c) Bruk punktet $A$ og retningsvektoren du fann i a) til å lage ei parameterframstilling for linja.

Løysing

$l : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 + 2 t \end{cases}$

d) Vis at punktet $B$ ligg på linja.

Løysing

Viss $B$ skal liggje på linja, må vi finne ein $t$ slik at begge koordinatane til $B$ passar i parameterframstillinga til $l$ . Vi set først $x = 3$ , og så sjekkar vi om den $t$ -verdien vi då får gir $y = 4$ :

$\begin{array}{l} x = 2 + t \\ 3 = 2 + t \\ t = 1 \\ y = 2 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4 \end{array}$

Vi ser at punktet $B$ ligg på linja.

4.4.2

Vi har gitt linja $m : \{\begin{cases} x = 3 - 2 t \\ y = 1 + t \end{cases}$ .

a) Teikn linja i eit koordinatsystem – både for hand og i GeoGebra.

Løysing

For å teikne linja for hand treng vi eitt punkt i tillegg til startpunktet i parameterframstillinga, som er $(3, 1)$ .

Vi set inn $t = 1$ :

$\begin{array}{l} x = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1 \\ y = 1 + 1 = 2 \end{array}$

Vi teiknar inn dei to punkta og trekkjer linja mellom dei.

For å teikne linja i GeoGebra skriv vi

Kurve(3-2t,1+t,t,-3,3)

for å få fram linja. Hugs at vi må velje eit intervall for $t$ for at GeoGebra skal kunne teikne linja.

Ei rett linje i eit koordinatsystem som går gjennom punkta parentes 1 komma 2 parentes slutt og parentes 3 komma 1 parentes slutt. Parameterframstillinga til linja står i biletet, ho er a kolon x er lik 3 minus 2 t, y er lik 1 pluss t, for t-verdiar større enn eller lik minus 3 og mindre enn eller lik 3. Skjermutklipp.

b) Finn ei parameterframstilling for ei linje som går gjennom punktet $(2, 2)$ og er parallell med $m$ .

Løysing

Vi bruker den same retningsvektoren som i $m$ :

$\{\begin{cases} x = 2 - 2 t \\ y = 2 + t \end{cases}$

c) Forklar at linja $l : \{\begin{cases} x = 1 - 4 t \\ y = 4 + 2 t \end{cases}$ er parallell med $m$ .

Løysing

Vi ser på retningsvektorane til linjene:

$\vec{r_{l}} = [- 4, 2] = 2 \cdot [- 2, 1] = 2 \cdot \vec{r_{m}}$

Sidan retningsvektorane er parallelle, er òg linjene parallelle.

d) Forklar at linja $n : \{\begin{cases} x = 1 - 6 t \\ y = 2 + 3 t \end{cases}$ er den same linja som $m$ .

Løysing

Vi ser at punktet (1,2) ligg både på $m$ og $n$ . I tillegg har vi at dei to vektorane er parallelle. Dermed er dei to linjene identiske.

e) Forklar at linja $p : \{\begin{cases} x = 3 - t \\ y = 1 - 2 t \end{cases}$ står vinkelrett på $m$ .

Løysing

To linjer står vinkelrett på kvarandre dersom dei to retningsvektorane står vinkelrett på kvarandre. Vi viser at skalarproduktet mellom dei to retningsvektorane er lik 0:

$[- 2, 1] \cdot [- 1, - 2] = (- 2) \cdot (- 1) + 1 \cdot (- 2) = 2 - 2 = 0$

4.4.3

Ei linje $l$ går gjennom punktet $A (3, - 2)$ og har retningsvektoren $\vec{r} = [- 5, 2]$ .

a) Finn ei parameterframstilling for linja.

Løysing

$l : \{\begin{cases} x = 3 - 5 t \\ y = - 2 + 2 t \end{cases}$

b) Undersøk om punkta $B (- 2, 0)$ og $C (2, 4)$ ligg på linja.

Løysing

Vi undersøkjer $B$ først:

$\begin{array}{l} - 2 = 3 - 5 t \\ - 5 = - 5 t \\ t = 1 \\ y = - 2 + 2 \cdot 1 = - 2 + 2 = 0 \end{array}$

$B$ ligg altså på linja.

Så undersøkjer vi $C$ :

$\begin{array}{l} 2 = 3 - 5 t \\ - 1 = - 5 t \\ t = \frac{1}{5} \\ y = - 2 + 2 \cdot \frac{1}{5} = - 2 + \frac{2}{5} \neq 4 \end{array}$

Vi ser at $C$ ikkje ligg på linja.

Parameterframstillingar til linjer i planet

4.4.1

4.4.2

4.4.3