Fagstoff

Vinkler

En vinkel er et mål på hvordan to linjer ligger i forhold til hverandre. For eksempel er takvinkelen i en takstol et mål på hvordan overgurten ligger i forhold til undergurten.

Grunnleggende om vinkler

To stråler starter fra samme punkt, kalt toppunktet. Strålen til høyre sett fra toppunktet er kalt høyre vinkelbein, strålen til venstre er kalt venstre vinkelbein. Vinkelen kalles v. Illustrasjon.

En rett vinkel med påskriften v er lik 90 grader. Illustrasjon.

En vinkel måler gapet mellom to vinkelbein. På figuren har vi kalt vinkelen v. Sett ifra toppunktet der vinkelbeina møtes, blir høyre vinkelbein det vannrette vinkelbeinet.

Vi måler vinkelen i grader og skriver en liten sirkel oppe til høyre bak tallet. Dersom vinkel v er 30 grader, skriver vi $v = 30°$ . Vi kan måle vinkler på en tegning med en vinkelmåler, også kalt gradskive.

Dersom det ene vinkelbeinet er vannrett og det andre loddrett, er størrelsen på vinkelen 90 grader, se figuren. Vi kaller dette en rett vinkel og markerer det ved å tegne to rette linjer i stedet for en vinkelbue. Vi sier i tillegg at vinkelbeina står vinkelrett på hverandre.

🤔 Tenk over: Hvor mange grader får vi hvis vi går hele runden rundt?

Forklaring

En hel runde består av 4 rette vinkler og blir

$4 \cdot 90 ° = 360 °$

Dette er akkurat som om du tar et 360-hopp: Da spinner du én runde rundt.

Toppvinkler

To linjer skjærer hverandre. De fire vinklene som dannes, er u, v, w og z. Figuren viser at u og v er spisse vinkler, mens w og z er stumpe vinkler. Illustrasjon.

Når to linjer skjærer hverandre, er to og to av de fire vinklene som dannes, alltid like store. Se figuren. Det betyr at

$u = v$ og $w = z$

Samsvarende vinkler

To parallelle linjer m og n skjæres begge av ei tredje linje l. Vinkelen u har m som høyre vinkelbein og l som venstre. Toppvinkelen til u heter v. Vinkelen w har n som høyre vinkelbein og l som venstre. Toppvinkelen til w heter z. Illustrasjon.

På figuren er u og w samsvarende vinkler fordi ett av vinkelbein (linja l) er felles. Linja l er venstre vinkelbein i både u og v. I tillegg er høyre vinkelbein i vinklene, linjene m og n, parallelle. Da har vi at

$u = w$

🤔 Tenk over: Er vinklene v og z like store også? Hvorfor/hvorfor ikke?

Forklaring

v og z er like store fordi de også er samsvarende vinkler med parallelle vinkelbein.

Vi kan også bruke at v er toppvinkel med u, og z er toppvinkel med w. Siden u og w er like store, må også v og z være like store fordi toppvinkler er like store.

Takvinkel

Tegningen viser en enkel takstol med en undergurt og to overgurter. Det er tegnet en vinkel rett utenfor takstolen, og på den vinkelen står det 27 grader. Fire vinkler, A, B, C og D, er markert på takstolen. Ei loddrett stiplet linje går fra toppen av åpningen i takstolen ned til midt på undergurten. Illustrasjon.

I en takstol er takvinkelen vinkelen mellom undergurten og overgurten. Figuren over viser en enkel takstol der takvinkelen er oppgitt til 27 grader. (Legg merke til måten takvinkelen er oppgitt på.) I tillegg er fire vinkler, A, B, C og D, markert på figuren. Vi må ha kontroll på disse vinklene for å få stilt inn vinkelen på saga riktig når vi skal skråkappe de tre delene takstolen består av.

🤔 Tenk over: Hvilke(n) av de fire vinklene er lik takvinkelen?

Løsning

Både A og B markerer vinkelen mellom undergurten og overgurten. A og B er samsvarende vinkler fordi ett av vinkelbeina i de to vinklene er felles (undersiden av overgurten). Når de to andre vinkelbeina er parallelle (over- og undersiden av undergurten), har vi derfor at

$A = B = 27 °$

Komplementvinkler

🤔 Tenk over: Hvor store er vinklene C og D i takstolen over?

Først slår vi fast at vinklene C og D er like store. Det er fordi de har ett vinkelbein felles – de er samsvarende vinkler – og de to andre vinkelbeina er parallelle (over- og undersiden av overgurten). Halve åpningen i takstolen har form som en rettvinklet trekant. Vinkel B og vinkel D er to av vinklene i den venstre halvdelen. Den tredje vinkelen er 90 grader.

Kan du regelen nedenfor fra før?

Summen av vinklene i en trekant er 180 grader.

Denne regelen kan vi bruke til å beregne vinkel D. Hvis vinkelsummen skal være 180 grader og den ene vinkelen er 90 grader, er det igjen $180 ° - 90 ° = 90 °$ til vinkel B og D. Og når vinkel B er 27°, får vi at

$D = 90 ° - B = 90 ° - 27 ° = 63 °$

Matematisk kan vi derfor skrive at

$B + D = 90 °$

Generelt vil vi ha at summen av de to vinklene som ikke er rette i en rettvinklet trekant, er 90 grader. Slike vinkler kalles komplementvinkler. Her er derfor vinklene B og D komplementvinkler.

Definisjon av komplementvinkler

To linjestykker starter i samme punkt. Linjestykkene står vinkelrett på hverandre. Et linjestykke deler den rette vinkelen i to ulike vinkler. Den minste av disse er kalt u, den andre v. Illustrasjon.

Når summen av to vinkler er 90 grader, kalles vinklene komplementvinkler.

På figuren har vi at

$u + v = 90 °$

u og v er derfor komplementvinkler.

De to vinklene som ikke er 90 grader i en rettvinklet trekant, er komplementvinkler. Komplementvinkler trenger derfor ikke stå ved siden av hverandre slik som u og v på figuren for å være komplementvinkler.