Oppgave

Vinkler

Her kan du øve med oppgaver om vinkler. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Finn vinkelen v på figurene.

Figur som viser en vinkel v der vinkelmarkeringen består av to rette linjer som står vinkelrett på hverandre. Illustrasjon.

Løsning

Markeringen av vinkelen betyr at de to vinkelbeina står vinkelrett på hverandre, som igjen betyr at vinkel v er 90 grader.

Figur som viser to blå linjer som står vinkelrett på hverandre. Den rette vinkelen deles i to vinkler av en svart stråle. Den ene av de to vinklene er 30 grader. Den andre har navnet v. Illustrasjon.

Løsning

Siden den svarte strålen deler en vinkel på 90 grader i to deler, er de to delene komplementvinkler siden summen av dem er 90 grader. Da får vi at

$v = 90 ° - 30 ° = 60 °$

Løsning

Siden den svarte strålen deler en vinkel på 90 grader i to deler, er de to delene komplementvinkler siden summen av dem er 90 grader. Da får vi at

$v = 90 ° - 57 ° = 33 °$

Midt på et linjestykke starter en stråle. Strålen danner vinkelen 131 grader med høyre ende av linjestykket, mens vinkelen mellom strålen og venstre ende av linjestykket har navnet v. Illustrasjon.

Løsning

Summen av de to vinklene på figuren må være det dobbelte av 90 grader, det vil si 180 grader. Da får vi at

$v = 180 ° - 131 ° = 49 °$

Midt på et linjestykke starter en stråle. Strålen danner vinkelen 101 grader med venstre ende av linjestykket, mens vinkelen mellom strålen og høyre ende av linjestykket har navnet v. Illustrasjon.

Løsning

Summen av de to vinklene på figuren må være det dobbelte av 90 grader, det vil si 180 grader. Da får vi at

$v = 180 ° - 101 ° = 79 °$

To linjestykker møtes i et punkt. Den minste vinkelen mellom linjestykkene er oppgitt til 42 grader, mens den motsatte vinkelen, vinkelen som går rundt den andre veien, har navnet v. Illustrasjon.

Løsning

Siden de to vinklene til sammen spenner over en hel sirkel på 360 grader, får vi at

$v = 360 ° - 42 ° = 318 °$

Oppgave 2

a) Finn de ukjente vinklene v, w, og z på figuren.

To linjer skjærer hverandre. Den minste vinkelen på høyre side av skjæringspunktet er 28 grader. Den tilsvarende vinkelen på motsatt side har navnet v. De to andre vinklene har navnene w og z. Illustrasjon.

Løsning

Vinkel v og den oppgitte vinkelen på 28 grader er toppvinkler og dermed like.

$v = 28 °$

Summen av vinklene v og w er 180°. Og siden vinklene w og z også er toppvinkler, får vi at

$w = z = 180 ° - v = 180 ° - 28 ° = 152 °$

b) Finn de ukjente vinklene u, v, og w på figuren.

To linjer skjærer hverandre. Den største vinkelen mellom linjene er 139 grader. Den tilsvarende vinkelen på motsatt side har navnet w. De to andre vinklene har navnene u og v. Illustrasjon.

Løsning

Vinkel w og den oppgitte vinkelen på 139 grader er toppvinkler og dermed like.

$w = 139 °$

Summen av vinklene u og w er 180°. Og siden vinklene u og v også er toppvinkler, får vi at

$u = v = 180 ° - w = 180 ° - 139 ° = 41 °$

c) Finn vinkel v når linjene m og n er parallelle.

To parallelle linjer m og n skjæres begge av ei tredje linje l. Vinkelen v har linja l som høyre vinkelbein og m som venstre. Vinkelen som har l som høyre vinkelbein og n som venstre, er 131,5 grader. Illustrasjon.

Løsning

Den oppgitte vinkelen og vinkel v er samsvarende vinkler, og når linjene m og n er parallelle, får vi at

$v = 131, 5 °$

d) Finn de ukjente vinklene u, v, og w når linjene m og n er parallelle.

To parallelle linjer m og n skjæres begge av ei tredje linje l. Vinkelen u har m som høyre vinkelbein og l som venstre. Vinkelen v har linja l som høyre vinkelbein og m som venstre. Vinkelen w har n som høyre vinkelbein og l som venstre. Toppvinkelen til w er 51 grader. Illustrasjon.

Løsning

Den oppgitte vinkelen og vinkel w er toppvinkler. Da er

$w = 51 °$

Vinklene u og w er samsvarende vinkler, og når linjene m og n er parallelle, får vi at

$u = w = 51 °$

Summen av vinkel u og vinkel v er 180 grader. Det gir at

$v = 180 ° - u = 180 ° - 51 ° = 129 °$

Oppgave 3

a) Finn vinkel v.

I en rettvinklet trekant er den andre vinkelen 65 grader, og den tredje har navnet v. Illustrasjon.

Løsning

Siden trekanten er rettvinklet, må summen av de to andre vinklene være 90°. Dette gir at

$v = 90 ° - 65 ° = 25 °$

b) Finn vinkel v.

I en rettvinklet trekant er den andre vinkelen 56 grader, og den tredje har navnet v. Illustrasjon.

Løsning

Siden trekanten er rettvinklet, må summen av de to andre vinklene være 90°. Dette gir at

$v = 90 ° - 56 ° = 34 °$

c) Finn de ukjente vinklene u, v, og w.

Figur som viser et rektangel der den ene diagonalen er tegnet inn. Diagonalen deler to av hjørnene i to ulike vinkler. I den ene enden er den ene av vinklene 61 grader, og den andre heter u. I den andre enden er vinkelen med navnet v i samme halvpart som den oppgitte vinkelen. Den andre har navnet w. Illustrasjon.

Løsning

Vinkel u og den oppgitte vinkelen er komplementvinkler. Det gir at

$u = 90 ° - 61 ° = 29 °$

Vinkel v er også komplementvinkel til den oppgitte vinkelen siden den er den tredje vinkelen i den rettvinklede trekanten som er halvparten av rektangelet. Dette gir at

$v = u = 29 °$

Vinklene w og v er komplementvinkler. Det betyr at v er komplementvinkelen til komplementvinkelen til den oppgitte vinkelen, altså lik den oppgitte vinkelen.

$w = 61 °$

d) Figuren viser en tegning av reisverket i en skråvegg. Finn den ukjente vinkelen v i skråveggen.

Tegning av reisverket i en skråvegg. Vinkelen mellom toppsvillen og vannrett linje er 32 grader. Vinkelen mellom stenderen lengst til høyre og toppsvillen har navnet v. Illustrasjon.

Løsning

Den øverste delen av skråveggen danner en rettvinklet trekant der den ene vinkelen er 32 grader. Vinkel v er komplementvinkel til denne og blir derfor

$v = 90 ° - 32 ° = 58 °$

e) Finn den ukjente vinkelen v i takstolen.

Tegning som viser en takstol der takvinkelen er 29 grader. En rettvinklet trekant er tegnet inn slik at hjørnet med den rette vinkelen ligger på toppen av undergurten rett under toppunktet på takstolen, som er det andre hjørnet. Det tredje hjørnet i trekanten ligger i enden av undergurten. Vinkelen mellom overgurten og den loddrette linja har navnet v. Illustrasjon.

Løsning

I en rettvinklet trekant er vinkelen mellom hypotenusen og den vannrette kateten 29 grader. Vinkelen mellom hypotenusen og den loddrette kateten har navnet v. Illustrasjon.

Takvinkelen er oppgitt til 29 grader. Siden vinkel v er komplementvinkel til takvinkelen, får vi at

$v = 90 ° - 29 ° = 61 °$

f) Under er en tegning av en takstol med overgurter og undergurt. Finn den ukjente vinkelen v i takstolen nedenfor.

I en takstol er takvinkelen oppgitt til 36 grader. De to overgurtene og undergurten er markert. Vinkelen øverst i åpningen i takstolen mellom de to overgurtene har navnet v. Illustrasjon.

Løsning

I en rettvinklet trekant er vinkelen mellom hypotenusen og den vannrette kateten 36 grader. Vinkelen mellom hypotenusen og den loddrette kateten har betegnelsen v delt på 2. Illustrasjon.

Halve åpningen i takstolen er en rettvinklet trekant der takvinkelen er den ene vinkelen som ikke er 90 grader. Den andre vinkelen må være halvparten av vinkel v, det vil si $\frac{v}{2}$ . Dette gir at

$\begin{array}{rcl} \frac{v}{2} & = & 90 ° - 36 ° = 54 ° \\ v & = & 54 ° \cdot 2 = 108 ° \end{array}$

g) Bildet viser en modell av ei pipe som er i ferd med å få beslag. Finn de ukjente vinklene u og v (knekkvinklene for beslaget) på figuren når takvinkelen er 26 grader.

Figur som viser en modell av ei pipe på et skråtak. På nedsiden av pipa er det lagt beslag. Vinkelen mellom taket og pipa på oversiden har navnet u og på nedsiden navnet v. Foto.

Løsning

Nedenfor har vi tegnet en figur for å få bedre oversikt over vinklene.

Ei rett linje går på skrå. Vinkelen mellom linja og vannrett retning er 26 grader. Den minste vinkelen mellom loddrett retning og linja har navnet u. Den største vinkelen mellom loddrett retning og linja har navnet v. Illustrasjon.

Takvinkelen på 26 grader og vinkel u er komplementvinkler. Det betyr at

$u = 90 ° - 26 ° = 64 °$

Vinklene u og v spenner over en halv sirkel til sammen. En halv sirkel er 180°. Da får vi at

$v = 180 ° - u = 180 ° - 64 ° = 116 °$

Oppgave 4

Under er en tegning av en takstol med overgurter og undergurt.

Tegning som viser en enkel takstol med en undergurt og to overgurter. Takvinkelen er 31 grader. Fire vinkler, A, B, C og D, er markert på takstolen. Ei loddrett stiplet linje går fra toppen av åpningen i takstolen ned til midt på undergurten. Illustrasjon.

a) Hva er takvinkelen?

Løsning

Takvinkelen er oppgitt til 31 grader.

b) Hvor store er vinklene A, B, C og D? Begrunn svarene.

Løsning

Både vinkel A og B markerer takvinkelen og er derfor 31 grader. Vinkel C og D må være like fordi de er samsvarende vinkler siden begge har den samme loddrette linja som venstre vinkelbein og parallelle linjer som høyre vinkelbein (oversiden og undersiden av overgurten).

Sammen med vinkel B danner vinkel D en rettvinklet trekant. Vinklene B og D er derfor komplementvinkler, og vi får

$C = D = 90 ° - B = 90 ° - 31 ° = 59 °$

c) Under er den samme overgurten fra en annen vinkel.

Figur som viser en planke som er rettkappet i venstre ende og skråkappet i høyre ende, slik at kuttflata danner vinkelen C med lengderetningen av planken. Illustrasjon.

Når du skal kappe den høyre enden av overgurten, må saga stilles inn på en annen vinkel enn vinkel C. Forklar hvorfor, og bruk ordet "komplementvinkler" i forklaringen din.

Tegn også en figur som viser sammenhengen mellom kappvinkelen og vinkel C, og bestem kappvinkelen.

Løsning

Tegning av den skråkappede enden av en overgurt. Enden danner en rettvinklet trekant der vinkel C er den spisse enden av overgurten. Den andre vinkelen i trekanten er 31 grader. Illustrasjon.

Vi har fra oppgave b) at vinkel C er 59 grader. Stiller vi saga på det, blir kappingen altfor skrå. Det er fordi at på saga måler vi ikke vinkel C, men vinkelen i forhold til en rettkappet planke, se figuren.

Denne vinkelen er komplementvinkelen til vinkel C og blir derfor lik takvinkelen, det vil si 31 grader. Så saga må stilles på 31 grader for skråkappingen av overgurten.

d) Hvilken vinkel må vi stille inn saga på når vi skal kappe undergurten eller tilhørende liggende kledning?

Løsning

Vi må gjøre tilsvarende som ved kapping av overgurten. Det betyr at saga må stilles på komplementvinkelen til vinkel A, det vil si 63 grader.

Oppgave 5

Dette er en praktisk oppgave som gjøres på byggverkstedet.

Figur som viser en enkel takstol med to overgurter med lengde 1000 millimeter og en innfelt undergurt der lengden av oversiden av undergurten er 586 millimeter. Takvinkelen er 35 grader. Bredden av materialene er 148 millimeter. Illustrasjon.

Til læreren

Takstolen kan også for eksempel bygges i halv målestokk, eller det kan brukes andre materialer. Elevene må finne ut hvilken vinkel saga skal stilles på, før de kapper. Dersom elevene har vært gjennom trigonometri, kan de for eksempel utfordres på å regne ut hvor lang undersiden av undergurten skal være.

Til denne oppgaven trenger du

materialer: $148 \times 48$ mm
skruer til montering
meterstokk
skrutrekker
kappsag

a) Lag kappliste. Lista skal vise vinklene som overgurtene og undergurten skal kappes i, og hvilke vinkler saga skal stilles inn på.

Løsning

Som i forrige oppgave skal saga stilles inn på takvinkelen, det vil si 35 grader, når overgurtene skal skråkappes. På undergurten må saga stilles inn på komplementvinkelen, det vil si

$90 ° - 35 ° = 55 °$

Kappliste
	Antall	Lengde, mm	Kappvinkler
Undergurt	1	586*	55°
Overgurt	2	1 000	0°, 35°

*Undergurten må skråkappes "utover" siden det oppgitte målet på undergurten er på den korteste siden av den.

b) Kapp til de tre delene og monter sammen takstolen.

c) Hva blir vinkelen i toppen av åpningen i takstolen?

Løsning

Vi kaller nå vinkelen øverst i åpningen i takstolen for v. Halve åpningen i takstolen er en rettvinklet trekant der takvinkelen er den ene vinkelen som ikke er 90 grader. Den andre vinkelen må være halvparten av vinkel v, $\frac{v}{2}$ . Dette gir at

$\begin{array}{rcl} \frac{v}{2} & = & 90 ° - 35 ° = 55 ° \\ v & = & 55 ° \cdot 2 = 110 ° \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{v}{2} & = & 90 ° - 35 ° = 55 ° \\ \frac{v}{2} & = & 90 - 35 ° = 55 ° \\ v & = & 55 ° \cdot 2 = 110 ° \\ v & = & 55 \cdot 2 = 110 \end{array}$

Arbeidstegning, takstol(DOCX)

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Vinkler(DOCX)
Vinkler(PDF)

Grunnleggende begreper og sammenhenger

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Nedlastbare filer