Areal og omkrets av plane figurer

Definisjon og måleenheter for areal

Vi definerer én kvadratdesimeter, 1 dm², som arealet, eller flateinnholdet, til et kvadrat med sidelengder på 1 dm.

Et kvadrat med sider 1 cm har et areal på én kvadratcentimeter, 1 cm².

Tilsvarende definerer vi arealer på 1 m², 1 mm² osv.

Figuren viser at 1 dm² tilsvarer
100 cm². Det betyr igjen at

$1 {\mathrm{cm}}^2=\frac{1}{100}{\mathrm{dm}}^2=0,01 {\mathrm{dm}}^2$

Vi husker sammenhengen mellom måleenheter for lengde:

$1 \mathrm{m}=10 \mathrm{dm} 1 \mathrm{dm}=10 \mathrm{cm} 1 \mathrm{cm}=10 \mathrm{mm}$

Omgjøring av måleenheter for lengde

$\begin{array}{rcl}2,3 \mathrm{m}& = & 23 \mathrm{dm}=2300 \mathrm{mm}\\ & & \\ 450 \mathrm{cm}& =& 4,50 \mathrm{m}\end{array}$

Når vi setter opp måleenhetene etter hverandre som i tabellen nedenfor, kan vi ha som huskeregel at vi må gange med 10 når vi går én plass til høyre i tabellen (flytte komma én plass til høyre), og dele med 10 når vi går én plass til venstre (flytte komma én plass til venstre).

Omgjøring av måleenheter for areal

$\begin{array}{rcl}2,3 {\mathrm{dm}}^2& = & 230 {\mathrm{cm}}^2=23 000 {\mathrm{mm}}^2\\ & & \\ 450 {\mathrm{cm}}^2& =& 0,0450 {\mathrm{m}}^2\end{array}$

Når vi setter opp måleenhetene for areal etter hverandre som i tabellen nedenfor, kan vi ha som huskeregel at vi må gange med 100 når vi går én plass til høyre i tabellen (flytte komma to plasser til høyre), og dele med 100 når vi går én plass til venstre (flytte komma to plasser til venstre).

For større arealer har vi også noen andre måleenheter

$\begin{array}{rcl}1 \mathrm{a} & =& 100 {\mathrm{m}}^2 \left(\mathrm{ar}\right)\\ 1 \mathrm{da} & =& 1 \mathrm{mål}=10 \mathrm{a}=1 000 {\mathrm{m}}^2 \left(\mathrm{dekar}\right)\\ 1 \mathrm{ha} & =& 100 \mathrm{a}=10 000 {\mathrm{m}}^2 \left(\mathrm{hektar}\right)\\ 1 {\mathrm{km}}^2 & =& 1 000 \mathrm{da}=1 000 000 {\mathrm{m}}^2 \left(\mathrm{kvadratkilometer}\right)\end{array}$

Plane figurer

🤔 Tenk over: I overskriften står det at vi skal regne med areal og omkrets av plane figurer. Vet du hva en plan figur er?

Omkrets av plane figurer

Omkretsen av en plan figur kan vi si er det samme som "veien rundt figuren". Hvis vi har med enkle mangekanter å gjøre, summerer vi lengdene til sidekantene.

Vi vil se på et eksempel med en sammensatt figur.

Først tenker vi etter hvilke sider som skal være med i omkretsen. Hvilke er det?

Vi ser at siden firkanten $ABCD$ er et rektangel, må vi ha

$ED=AB$

og

$AE=BD=BF+FD$

Vi bruker den rettvinklede trekanten $BFC$ og finner $BC$ ved hjelp av Pytagoras' setning:

$\begin{array}{rcl}B{C}^2 & =& F{C}^2+B{F}^2\\ & =& 2,0^2+2,0^2\\ & =& 8,0\\ BC & =& \sqrt{8,0}\\ & =& 2,82\approx 2,8\end{array}$

Til slutt må vi finne lengden av sirkelbuen mellom C og D. For å finne lengden til sirkelbuen, trenger vi diameteren $CD$:

$\begin{array}{rcl}C{D}^2 & =& F{C}^2+D{F}^2\\ & =& 2,0^2+1,0^2\\ & =& 5,0\\ CD & =& \sqrt{5,0}\\ & =& 2,23\approx 2,2\\ & & \end{array}$

Lengden av halvsirkelbuen $CD$ blir da

$\begin{array}{rcl}CD & =& \frac{2,2·\mathrm{\pi }}{2}\\ & =& 1,1·\mathrm{\pi }\\ & =& 3,45\approx 3,5\end{array}$

Nå finner vi omkretsen av hele figuren:

$\begin{array}{rcl}{O}_{ABCDE} & =& AB+BC+CD+DE+AE\\ & =& 2,0\mathrm{cm}+2,8\mathrm{cm}+3,5\mathrm{cm}+2,0\mathrm{cm}+3,0\mathrm{cm}\\ & =& 13,3\mathrm{cm}\end{array}$

Areal av plane figurer

Arealet av et rektangel

I et rektangel som er $5$ cm langt og $3$ cm høyt, kan vi få plass til  $3·5=15$  kvadrater som hver har et areal på $1$ cm². Det betyr at arealet er på $15$ cm².

Vi kan altså finne arealet til et rektangel ved å multiplisere grunnlinja med høyden. Vi kan også si at vi multipliserer lengden med bredden.

Vi får en formel for arealet til et rektangel:

$A=g·h$

Arealet av andre figurer

Vi kan også lage formler for arealet av andre figurer.

På figuren kan du sammenligne arealet til rektangelet med grunnlinja $g$ og høyden $h$ med arealet til trekanten med grunnlinja $g$ og høyden $h$.

Kan du forklare at arealet til rektangelet er dobbelt så stort som arealet til trekanten?

Siden arealet til rektangelet kan finnes ved å multiplisere grunnlinja med høyden,  $A\left(\mathrm{rektangel}\right)=g·h$, er arealet til trekanten

$A\left(\mathrm{trekant}\right)=\frac{g·h}{2}$

Hva med parallellogram, rombe og trapes?

Du kan nå ta for deg et parallellogram, en rombe og et trapes og se om du kan lage arealformler for disse figurene på den samme måten som for trekanter. Du kan sammenligne formlene dine med formlene i skjemaet nedenfor.

Arealformel for sirkel

Det er ikke så lett å gjøre en sirkel om til et rektangel og på den måten finne formelen for arealet. Vi får likevel en brukbar tilnærming ved metoden vist i figuren.

Vi deler sirkelen inn i like sektorer. Så stiller vi sektorene annenhver opp og ned, slik at sektorene tilnærmet blir et parallellogram med grunnlinje tilnærmet lik  $\frac{2\pi r}{2}=\pi r$  og høyde lik $r$. Arealet blir da tilnærmet  $A=\pi r·r=\pi r^2$.

Jo flere sektorer vi deler sirkelen inn i, jo bedre blir tilnærmingen. Hvis vi deler sirkelen i veldig mange sektorer, får vi tilnærmet et rektangel.

Areal av sammensatte figurer

Når vi skal regne arealet av en sammensatt figur, må vi først dele opp figuren i hensiktsmessige deler. Vi ser på den samme sammensatte figuren som vi fant omkretsen til. Hvordan vil du dele opp denne figuren for å finne arealet?

Vi finner de tre arealene og legger dem sammen. Vi bruker målene vi fant lenger oppe:

$\begin{array}{rcl}{A}_{ABDE} & =& 3,0\mathrm{cm}·2,0\mathrm{cm}\\ & =& 6,0{\mathrm{cm}}^2\\ A_{BCD} & =& \frac{3,0\mathrm{cm}·2,0\mathrm{cm}}{2}\\ & =& 3,0{\mathrm{cm}}^2\\ A_{CD} & =& \frac{\mathrm{\pi }·{\left(1,1\mathrm{cm}\right)}^2}{2}\\ & =& 1,90{\mathrm{cm}}^2\approx 1,9{\mathrm{cm}}^2\\ A_{ABCDE} & =& 6,0{\mathrm{cm}}^2 + 3,0{\mathrm{cm}}^2 + 1,9 {\mathrm{cm}}^2\\ & =& 10,9{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

Formler for areal av utvalgte figurer

Her har vi samlet formlene i en tabell: