Volum og overflate

$6 700 {\mathrm{cm}}^3=6,7 {\mathrm{dm}}^3$

$1 {\mathrm{m}}^3=1 000 {\mathrm{dm}}^3$

$900 000 {\mathrm{mm}}^3=0,9 {\mathrm{dm}}^3$

$\begin{array}{rcl}3,4 {\mathrm{dm}}^3& + & 800 {\mathrm{cm}}^3+0,001 {\mathrm{m}}^3\\ & & \\ & =& 3,4 {\mathrm{dm}}^3+0,8 {\mathrm{dm}}^3+1,0 {\mathrm{dm}}^3\\ & & \\ & =& 5,2 {\mathrm{dm}}^3\\ & & \\ & =& 5,2 \mathrm{L}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}430 000 {\mathrm{mm}}^3& + & 7 800 {\mathrm{cm}}^3+0,045 {\mathrm{m}}^3 \\ & & \\ & =& 0,43 {\mathrm{dm}}^3+7,8 {\mathrm{dm}}^3+45 {\mathrm{dm}}^3 \\ & & \\ & =& 53,23 {\mathrm{dm}}^3 \\ & & \\ & =& 53,23 \mathrm{L}\end{array}$

Arealet er

$G=60,0 \mathrm{cm}·22,0 \mathrm{cm}=1 320 {\mathrm{cm}}^2$

Volumet av eska er

$V=G·h=1 320 {\mathrm{cm}}^2·20 \mathrm{cm}=26 400 {\mathrm{cm}}^3=26,4 {\mathrm{dm}}^3=26,4 \mathrm{L}$

Overflata av eska er lik arealet av bunnen pluss arealet av to langsider pluss arealet av to endesider, altså totalt 5 sider.

Overflata er

$O=1 320 {\mathrm{cm}}^2+2·60 \mathrm{cm}·20 \mathrm{cm}+2·22 \mathrm{cm}·20 \mathrm{cm}=4 600 {\mathrm{cm}}^2$

Kartongen rommer

$V=6,6 \mathrm{cm}·6,4 \mathrm{cm}·24,0 \mathrm{cm}=1 013,8 {\mathrm{cm}}^3=1,0 {\mathrm{dm}}^3=1,0 \mathrm{L}$

Vi gjør om målene til desimeter (dm).

$V=20,37 \mathrm{dm}·11,60 \mathrm{dm}·3,50 \mathrm{dm}=827,02 {\mathrm{dm}}^3$

Tilhengeren rommer 827 liter.

Siden volumet er grunnflata ganget med høyden, kan vi regne ut høyden av grus i tilhengeren dersom vi har volumet av grus og arealet av tilhengerflata. Vi finner først ut hvor mange liter eller kubikkdesimeter grus vi får av 610 kg. Det gjør vi ved å dele på massetettheten/egenvekten til grusen.

$V=\frac{610 \mathrm{kg}}{2,5 \mathrm{kg}/{\mathrm{dm}}^3}=244 {\mathrm{dm}}^3$

Deretter regner vi ut arealet av grunnflata i tilhengeren.

$G=20,37 \mathrm{dm}·11,60 \mathrm{dm}=236,292 {\mathrm{dm}}^2$

Siden volumet er grunnflata ganger høyden, finner vi høyden ved å regne baklengs og dele volumet av grus på grunnflata.

$h=\frac{V}{G}=\frac{244 {\mathrm{dm}}^3}{236,292 {\mathrm{dm}}^2}=1,033 \mathrm{dm}\approx 10 \mathrm{cm}$

Vi kan fylle maksimalt 10 cm grus i tilhengeren.

Her er det kanskje enklest å regne ut det utvendige og det innvendige volumet av bassenget og trekke de fra hverandre.

Det innvendige volumet blir

$V_i=l_i·b_i·h_i=9,80 \mathrm{m}·5,20 \mathrm{m}·1,90 \mathrm{m}=96,824 {\mathrm{m}}^3$

Utvendig lengde:

$l_u=9,80 \mathrm{m}+2·0,2 \mathrm{m}=10,20 \mathrm{m}$

Utvendig bredde:

$b_u=5,20 \mathrm{m}+2·0,2 \mathrm{m}=5,60 \mathrm{m}$

Utvendig høyde:

$h_u=1,90 \mathrm{m}+0,2 \mathrm{m}=2,10 \mathrm{m}$

Det utvendige volumet blir

$V_u=l_u·b_u·h_u=10,20 \mathrm{m}·5,60 \mathrm{m}·2,10 \mathrm{m}=119,952 {\mathrm{m}}^3$

Volumet av veggene og bunnen blir

$V=V_u-V_i=119,952 {\mathrm{m}}^3-96,824 {\mathrm{m}}^3=23,128 {\mathrm{m}}^3$

Det gikk med $23,1 {\mathrm{m}}^3$ betong.

Alternativt kan vi regne ut volumet av bunnen og de fire veggene direkte.

Vi må regne ut (det innvendige) arealet av de fire veggene pluss bunnen.

$\begin{array}{rcl}A & =& 9,80 \mathrm{m}·5,20 \mathrm{m}+2·9,8 \mathrm{m}·1,9 \mathrm{m}+2·5,2 \mathrm{m}·1,9 \mathrm{m}\\ & =& 107,96 {\mathrm{m}}^2\end{array}$

Det gikk med $108 {\mathrm{m}}^2$ fliser.

Vi ser bort ifra tykkelsen av platene og bruker de målene på figuren direkte når vi regner ut volumet av hver platedel.

Bunnen:

$V_b=230 \mathrm{cm}·86 \mathrm{cm}·0,6 \mathrm{cm}=11 868 {\mathrm{cm}}^3$

De to trekantete sidene:

$V_t=2·\frac{86 \mathrm{cm}·76 \mathrm{cm}}{2}·0,6 \mathrm{cm}=3 921,6 {\mathrm{cm}}^3$

Den firkantede siden:

$V_f=230 \mathrm{cm}·76 \mathrm{cm}·0,6 \mathrm{cm}=10 488 {\mathrm{cm}}^3$

Det totale volumet av jern blir

$\begin{array}{rcl}V & =& V_b+V_t+V_f\\ & =& 11 868 {\mathrm{cm}}^3+3 921,6 {\mathrm{cm}}^3+10 488 {\mathrm{cm}}^3\\ & =& 26 277,6 {\mathrm{cm}}^3\end{array}$

Vekta av skuffa finner vi ved å gange volumet med massetettheten (egenvekta) til jern.

$26 277,6 {\mathrm{cm}}^3·7,87 \mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3=206 804,712 \mathrm{g}\approx 207 \mathrm{kg}$

Vekten av skuffen er 207 kg.

Vi har her et prisme med trapesformet bunn der høyden av prismet er lengden av kanalen på 2 000 m.

$\begin{array}{rcl}V & =& G·h\\ & =& \frac{5,0 \mathrm{m}+2,5 \mathrm{m}}{2}·2,5 \mathrm{m}·2 000 \mathrm{m}\\ & =& 18 750 {\mathrm{m}}^3\end{array}$

Antall kubikkmeter som må graves ut, er $18 750 {\mathrm{m}}^3$.

Vi finner først radien r i kakeboksen ved å dele diameteren d på 2.

$r=\frac{d}{2}=\frac{21 \mathrm{cm}}{2}=10,5 \mathrm{cm}$

Så bruker vi formelen for volumet av en sylinder og får

$\begin{array}{rcl}V & =& \pi ·r^{2}h\\ & =& \pi ·{\left(10,5 \mathrm{cm}\right)}^2·16 \mathrm{cm}\\ & =& 5 541,77 {\mathrm{cm}}^3\\ & \approx & 5,54 {\mathrm{dm}}^3\end{array}$

Kakeboksen rommer $5,5 \mathrm{liter}$.

Vi finner først radien r i oljetanken ved å dele diameteren d på 2.

$r=\frac{d}{2}=\frac{3,0 \mathrm{m}}{2}=1,5 \mathrm{m}$

$\begin{array}{rcl}V & =& \pi ·r^{2}h\\ & =& \pi ·{\left(1,5 \mathrm{m}\right)}^2·5 \mathrm{m}\\ & =& 35,343 {\mathrm{m}}^3\\ & =& 35 343 {\mathrm{dm}}^3\end{array}$

Volumet av oljetanken er omtrent 35 300 L.

Vi bruker formelen for overflata $O$ av en sylinder med topp og bunn og får

$\begin{array}{rcl}O & =& 2\pi r·h+2·\pi r^2\\ & =& 2·\pi ·1,5 \mathrm{m}·5,0 \mathrm{m}+2·\pi ·{\left(1,5 \mathrm{m}\right)}^2\\ & =& 61,26 {\mathrm{m}}^2\end{array}$

Overflata av oljetanken er $61 {\mathrm{m}}^2$.

Formelen for volumet av en sylinder er

$V=\pi ·r^2·h$

Her kjenner vi volumet V og skal regne oss tilbake til høyden h. Da må vi gjøre det motsatte og dele med π og $r^2$ i stedet for å gange som i formelen.

Siden volumet er oppgitt i liter, som er det samme som kubikkdesimeter (${\mathrm{dm}}^3$), regner vi ut radien r i desimeter.

$r=\frac{d}{2}=\frac{2,6 \mathrm{dm}}{2}=1,3 \mathrm{dm}$

Så tar vi volumet og deler med π og $r^2$.

$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{8 {\mathrm{dm}}^3}{\mathrm{\pi }·{\left(1,3 \mathrm{dm}\right)}^2}=1,51 \mathrm{dm}$

Høyden til gryta er 15 cm.

Alternativ løsningsmetode:

Vi kan også bruke formelen som den er, og få en likning som vi for eksempel kan løse med matematikkhjelpen i OneNote. Dersom vi setter det vi vet, rett inn i formelen, får vi

$8=\pi ·1,3^2·h$

Vi skriver likningen inn i OneNote:

8=pi*1,3^2*h

Så markerer vi dette og velger "Matematikkhjelp" fra menyen "Tegn". Vi kontrollerer at likningen er riktig oppfattet under "Ligningen din" og velger "Løs for h". Resultatet ser ut som på bildet.

Vi må først finne ut hvor stort areal vi skal male. Vi regner ikke med topp og bunn i dette tilfellet. Formelen for overflata O til en sylinder uten topp og bunn blir

$O=2·\pi ·r·h$

Først regner vi ut radien i sylinderen i meter.

$r=\frac{d}{2}=\frac{0,3 \mathrm{m}}{2}=0,15 \mathrm{m}$

Dette gir

$O=2·\pi ·0,15 \mathrm{m}·4,2 \mathrm{m}=3,96 {\mathrm{m}}^2$

Siden vi skal male to strøk, blir arealet som skal males, dobbelt så stort. Vi må dele dette arealet på antall liter maling per kvadratmeter for å finne ut hvor mye maling vi trenger.

$\frac{2·3,96 {\mathrm{m}}^2}{6 {\mathrm{m}}^2/\mathrm{L}}=1,32 \mathrm{L}$

Det vil gå med 1,32 liter maling.

Volumet av en pyramide er gitt ved formelen $V=\frac{G·h}{3}$. Siden grunnflata er kvadratisk, er $G=s^2$, og vi får

$V=\frac{230 \mathrm{m}·230 \mathrm{m}·146 \mathrm{m}}{3}=2 574 467 {\mathrm{m}}^3$

Volumet av den opprinnelige Kheopspyramiden blir omtrent $2 570 000 {\mathrm{m}}^3$.

Vi regner ut volumet i kubikkdesimeter (${\mathrm{dm}}^3$) og får at

$V=l·b·h=250 \mathrm{dm}·125 \mathrm{dm}·24 \mathrm{dm}=750 000 {\mathrm{dm}}^3$

Svømmebassenget rommer 750 000 liter.

Vi må finne ut hvor mange ganger volumet av bassenget går opp i volumet av Kheopspyramiden. Da må vi dele.

$\frac{2 570 000 {\mathrm{m}}^3}{750 {\mathrm{m}}^3}=3 427$

Kheopspyramiden rommer omtrent 3 427 svømmebasseng av denne typen.

Volumet av ei kjegle er gitt ved formelen $V=\frac{\pi r^2·h}{3}$. Vi får

$V=\frac{\pi ·{\left(12 \mathrm{cm}\right)}^2·24 \mathrm{cm}}{3}=3 619 {\mathrm{cm}}^3$

Volumet av kjegla er $3 619 {\mathrm{cm}}^3$.

Overflata av ei kjegle med bunn er gitt ved formelen $O=\pi r^2+\pi r·s$.

Vi finner først sidekanten s ved hjelp av pytagorassetningen. Husk at s er hypotenusen i en rettvinklet trekant der katetene er radien og høyden i kjegla slik at

$s^2=r^2+h^2$

Dette gir

$s=\sqrt{{12}^2+{24}^2} \mathrm{cm}=26,83 \mathrm{cm}$

Overflata blir

$O=\mathrm{\pi }·{\left(12 \mathrm{cm}\right)}^2+\mathrm{\pi }·12 \mathrm{cm}·26,83 \mathrm{cm}=1 463,86 {\mathrm{cm}}^2$

Overflata av kjegla er $1 464 {\mathrm{cm}}^2$.

Siden høyden h er en av katetene i en rettvinklet trekant der radien r er den andre kateten og sidekanten s er hypotenusen, gir pytagorassetningen

$h^2=s^2-r^2$

Vi får

$h=\sqrt{6,4^2-2,4^2} \mathrm{dm}=5,93 \mathrm{dm}$

Med den innebygde kalkulatoren i OneNote ser utregningen slik ut:

sqrt(6,4^2-2,4^2)=

Høyden er 5,9 dm.

Volumet av ei kjegle er gitt ved formelen $V=\frac{\pi r^2·h}{3}$. Vi får

$V=\frac{\pi ·{\left(2,4 \mathrm{dm}\right)}^2·5,9 \mathrm{dm}}{3}=35,6 {\mathrm{dm}}^3$

Volumet av kjegla er $35,6 {\mathrm{dm}}^3$.

Overflata av ei kule er gitt ved formelen $O=4\pi r^2$. Vi får

$O = 4·\pi ·r^2=4·\pi ·(4,0 \mathrm{cm}{)}^2=201 {\mathrm{cm}}^2$

Overflata av appelsinen er $201 {\mathrm{cm}}^3$.

Overflata av appelsinen er arealet av skallet.

Volumet av ei kule er gitt ved formelen $V=\frac{4\pi r^3}{3}$. Vi får

$V=\frac{4·\pi ·(4,0 \mathrm{cm}{)}^3}{3}=268 {\mathrm{cm}}^3$

Volumet av appelsinen er $268 {\mathrm{cm}}^3$.

Radien av selve appelsinkjøttet er

$4,0 \mathrm{cm}-0,3 \mathrm{cm}=3,7 \mathrm{cm}$

Volumet av appelsinen uten skall blir

$V=\frac{4·\pi ·r^3}{3}=\frac{4·\pi ·(3,7 \mathrm{cm}{)}^3}{3}=212 {\mathrm{cm}}^3$

Volumet av skallet er det ytre volumet minus det indre, altså

$268 {\mathrm{cm}}^3-212 {\mathrm{cm}}^3=56 {\mathrm{cm}}^3$

Radien i kula er den samme som radien på kjeksen, det vil si

$r=\frac{d}{2}=\frac{6,0 \mathrm{cm}}{2}=3,0 \mathrm{cm}$

Vi regner først ut volumet av halvkula med is:

$\frac{4·\mathrm{\pi }·(3,0 \mathrm{cm}{)}^3}{3}·\frac{1}{2}=56,55 {\mathrm{cm}}^3$

Volumet av kjegla med iskjeks blir

$\frac{\pi ·(3,0 \mathrm{cm}{)}^2·12,0 \mathrm{cm}}{3}=113,10 {\mathrm{cm}}^3$

Det totale volumet av isen blir

$56,55 {\mathrm{cm}}^3+113,10 {\mathrm{cm}}^3=169,65 {\mathrm{cm}}^3\approx 170 {\mathrm{cm}}^3$