Pytagorassetningen

Trekanten må være rettvinklet for at vi skal kunne kalle sidene kateter og hypotenus. Siden en av vinklene i trekanten har symbolet for en rett vinkel, vet vi at trekanten er rettvinklet, og kravet er oppfylt.

Siden c er hypotenusen fordi den ikke er et av vinkelbeina til den rette vinkelen.

Sidene a og b er kateter siden de er vinkelbeina til den rette vinkelen.

Ja!

Trekanten kan se slik ut.

Hypotenusen skal være 5 cm.

Husk at $c^2$ betyr $c·c$.

$c^2=5·5=25$

$a^2+b^2=4·4+3·3=16+9=25$

Vi får samme svar. Det er på grunn av pytagorassetningen for rettvinklede trekanter. Vi sier at vi har brukt pytagorassetningen til å kontrollere at trekanten er rettvinklet.

Katetene blir nå

$\begin{array}{rcl}a & =& 4 \mathrm{cm}·2=8 \mathrm{cm}\\ b & =& 3 \mathrm{cm}·2=6 \mathrm{cm}\end{array}$

Måler du hypotenusen, skal den bli 10 cm. Siden vi har doblet katetene, må også hypotenusen være dobbelt så lang:

$c=5 \mathrm{cm}·2=10 \mathrm{cm}$

Vi får at

$c^2=10·10=100$

$a^2+b^2=8·8+6·6=64+36=100$

Igjen får vi samme svar. Vi har brukt pytagorassetningen til å kontrollere at trekanten er rettvinklet.

Katetene blir nå

$\begin{array}{rcl}a & =& 4 \mathrm{cm}·3=12 \mathrm{cm}\\ b & =& 3 \mathrm{cm}·3=9 \mathrm{cm}\end{array}$

Måler du hypotenusen, skal den bli 15 cm. Siden katetene nå er tre ganger så lange, må også hypotenusen være tre ganger så lang:

$c=5 \mathrm{cm}·3=15 \mathrm{cm}$

Vi får at

$c^2=15·15=225$

$a^2+b^2=12·12+9·9=144+81=225$

Igjen får vi samme svar. Trekanten er derfor rettvinklet.

$a^2+b^2=c^2$

${{\mathrm{katet}}_1}^2+{{\mathrm{katet}}_2}^2={\mathrm{hypotenus}}^2$

Først skriver vi opp lengden av a, b og c. Så regner vi ut $c^2$ og $a^2+b^2$ og ser om vi får samme svar.

Vi får at

• $c=6 \mathrm{cm}$ siden den er lengst

• $a=4 \mathrm{cm}$

• $b=5 \mathrm{cm}$

Vi får videre at

$c^2=6·6=36$

$a^2+b^2=4·4+5·5=16+25=41$

Vi får ikke samme svar, så trekanten er ikke rettvinklet.

Husk at det motsatte av å opphøye et tall i andre (gange med seg selv) er å ta kvadratrota av tallet.

Vi må finne kvadratrota av 49, som vi skriver $\sqrt{49}$. Siden $7·7=49$, har vi at $\sqrt{49}=7$. Hypotenusen er derfor 7. (Det er ikke oppgitt noen måleenheter i oppgaven.)

Her trenger vi en kalkulator for å regne ut $\sqrt{52,3}$. I OneNote skriver vi sqrt(52,3)= og får at hypotenusen er 7,2. (Vi tar ikke med mer enn én desimal her.)

Siden c er hypotenusen. Vi kaller de to katetene a og b. Vi bruker pytagorassetningen og får

$\begin{array}{rcl}{a}^2+ b^2& = & 5,0^2+3,0^2\\ & =& 25+9\\ & =& 34\\ & & \\ c& =& \sqrt{34}=5,8\end{array}$

Lengden av siden c er cirka 5,8 cm.

BC er hypotenusen i trekanten. Vi bruker pytagorassetningen og får

$\begin{array}{rcl}B{C}^2& = & 5,0^2+5,0^2\\ & =& 25+25\\ & =& 50\\ & & \\ BC& =& \sqrt{50}=7,1\end{array}$

Lengden BC er cirka 7,1 cm.

BC er hypotenusen i den rettvinklede trekanten vi får når vi deler garasjen i to langs BC. Vi bruker pytagorassetningen og får

$\begin{array}{rcl}B{C}^2& = & 6,0^2+8,0^2\\ & =& 36+64\\ & =& 100\\ & & \\ BC& =& \sqrt{100}=10\end{array}$

Diagonalen $BC$ er 10,0 m.

Figuren viser den øverste delen av gavlveggen. Vi har tegnet på ei vannrett stiplet linje som viser at vi får en rettvinklet trekant der taklengden c er hypotenusen.

Den vannrette (stiplede) kateten er 850 mm. Den loddrette kateten blir forskjellen på høyden på de to veggene, det vil si

$1 930 \mathrm{mm}-1 588 \mathrm{mm}=342 \mathrm{mm}$

Pytagorassetningen gir at

$\begin{array}{rcl}{c}^2 & =& {850}^2+{342}^2\\ & =& 839 464\\ & & \\ c & =& \sqrt{839 464}=916\end{array}$

Den innvendige lengden på taket er 916 mm.

Vi bruker pytagorassetningen og sjekker om lengden av hypotenusen BC blir 5,5 m.

$\begin{array}{rcl}B{C}^2& = & 4,0^2+4,0^2\\ & =& 32\\ & & \\ BC& =& \sqrt{32}=5,7\end{array}$

Diagonalen BC må være cirka 5,7 m for at trekanten skal være rettvinklet. Trekanten på figuren er derfor ikke rettvinklet.

Her er den lengden vi skal finne en av katetene. Da må vi snu på pytagorassetningen.

$\begin{array}{rcl}{\mathrm{hypotenus}}^2& = & {{\mathrm{katet}}_1}^2+{{\mathrm{katet}}_2}^2\\ {{\mathrm{katet}}_1}^2& =& {\mathrm{hypotenus}}^2-{{\mathrm{katet}}_2}^2\\ & & \\ A{B}^2& =& 10,0^2-6,0^2\\ & =& 100-36\\ & =& 64\\ & & \\ AB& =& \sqrt{64}=8,0\end{array}$

Lengden AB er 8,0 dm.

Vi kaller den ukjente kateten for a og bruker pytagorassetningen, som vi må snu på siden vi skal finne en katet.

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& 5,{15}^2-2,{50}^2\\ & =& 20,2725\\ & & \\ a & =& \sqrt{20,2725}=4,50\end{array}$

Lengden av den andre kateten er cirka 4,50 cm.

Høyden h deler trekanten inn i to rettvinklede trekanter og blir en av katetene. Den andre kateten blir halvparten av AB, det vil si

$\frac{10,80 \mathrm{m}}{2}=5,40 \mathrm{m}$

Vi bruker pytagorassetningen på en av trekantene og får

$\begin{array}{rcl}{h}^2& = & 6,{75}^2-5,{40}^2\\ & =& 16,4025\\ & & \\ h& =& \sqrt{16,4025}\\ & =& 4,05\end{array}$

Høyden $h$ er cirka 4,05 m.

Diagonalen deler garasjen inn i to rettvinklede trekanter der diagonalen blir hypotenusen. Lengden på diagonalen – hypotenusen c – skal da etter pytagorassetningen være

$\begin{array}{rcl}{c}^2 & =& 6,5^2+4,1^2\\ & =& 59,06\\ & & \\ c & =& \sqrt{59,06}=7,66\end{array}$

Hvis diagonalen ikke er 7,66 m, er ikke trekantene rettvinklede, og dermed er heller ikke hjørnene i garasjen rettvinklede.