Areal og omkrins av plane figurar

Definisjon og måleiningar for areal

Vi definerer éin kvadratdesimeter, 1 dm², som arealet, eller flateinnhaldet, av eit kvadrat med sidelengder på 1 dm.

Eit kvadrat med sider 1 cm har eit areal på éin kvadratcentimeter,
1 cm².

Tilsvarande definerer vi arealer på 1 m², 1 mm² osv.

Figuren viser at 1 dm² svarar til 100 cm². Det tyder igjen at

$1 {\mathrm{cm}}^2=\frac{1}{100}{\mathrm{dm}}^2=0,01 {\mathrm{dm}}^2$

Vi hugsar samanhengen mellom måleiningar for lengde

$1 \mathrm{m}=10 \mathrm{dm} 1 \mathrm{dm}=10 \mathrm{cm} 1 \mathrm{cm}=10 \mathrm{mm}$

Omgjering av måleiningar for lengde

$\begin{array}{rcl}2,3 \mathrm{m}& = & 23 \mathrm{dm}=2300 \mathrm{mm}\\ & & \\ 450 \mathrm{cm}& =& 4,50 \mathrm{m}\end{array}$

Når vi set opp måleiningane etter kvarandre som i tabellen nedanfor, kan vi ha som hugseregel at vi må gonge med 10 når vi går éin plass til høgre i tabellen (flytte komma éin plass til høgre), og dele med 10 når vi går éin plass til venstre (flytte komma éin plass til venstre).

Omgjering av måleiningar for areal

$\begin{array}{rcl}2,3 {\mathrm{dm}}^2& = & 230 {\mathrm{cm}}^2=23 000 {\mathrm{mm}}^2\\ & & \\ 450 {\mathrm{cm}}^2& =& 0,0450 {\mathrm{m}}^2\end{array}$

Når vi set opp måleiningane for areal etter kvarandre som i tabellen nedanfor, kan vi ha som hugseregel at vi må gonge med 100 når vi går éin plass til høgre i tabellen (flytte komma to plassar til høgre), og dele med 100 når vi går éin plass til venstre (flytte komma to plassar til venstre).

For større areal har vi også nokre andre måleiningar

$\begin{array}{rcl}1 \mathrm{a} & =& 100 {\mathrm{m}}^2 \left(\mathrm{ar}\right)\\ & & \\ 1 \mathrm{da} & =& 1 \mathrm{mål}=10 \mathrm{a}=1 000 {\mathrm{m}}^2 \left(\mathrm{dekar}\right)\\ & & \\ 1 \mathrm{ha} & =& 100 \mathrm{a}=10 000 {\mathrm{m}}^2 \left(\mathrm{hektar}\right)\\ & & \\ 1 {\mathrm{km}}^2 & =& 1 000 \mathrm{da}=1 000 000 {\mathrm{m}}^2 \left(\mathrm{kvadratkilometer}\right)\end{array}$

Plane figurar

🤔 Tenk over: I tittelen står det at vi skal rekne med areal og omkrins av plane figurar. Veit du kva ein plan figur er?

Omkrins av plane figurar

Omkrinsen av ein plan figur kan vi seie er det same som "vegen rundt figuren". Dersom vi har med enkle mangekantar å gjere, summerer vi lengdene til sidekantane.

Vi vil sjå på eit døme med ein samansett figur.

Først tenkjer vi etter kva sider som skal vere med i omkrinsen. Kva er det?

Vi ser at sidan firkanten $ABCD$ er eit rektangel, må vi ha

$ED=AB$

og

$AE=BD=BF+FD$

Vi bruker den rettvinkla trekanten $BFC$ og finn $BC$ ved hjelp av pytagorassetninga:

$\begin{array}{rcl}B{C}^2 & =& F{C}^2+B{F}^2\\ & =& 2,0^2+2,0^2\\ & =& 8,0\\ BC & =& \sqrt{8,0}\\ & =& 2,82\approx 2,8\end{array}$

Til slutt må vi finne lengda av sirkelbogen mellom C og D. For å finne lengda til sirkelbogen, treng vi diameteren $CD$:

$\begin{array}{rcl}C{D}^2 & =& F{C}^2+D{F}^2\\ & =& 2,0^2+1,0^2\\ & =& 5,0\\ CD & =& \sqrt{5,0}\\ & =& 2,23\approx 2,2\\ & & \end{array}$

Lengda av halvsirkelbogen $CD$ blir då

$\begin{array}{rcl}CD & =& \frac{2,2·\mathrm{\pi }}{2}\\ & =& 1,1·\mathrm{\pi }\\ & =& 3,45\approx 3,5\end{array}$

No finn vi omkrinsen av heile figuren:

$\begin{array}{rcl}{O}_{ABCDE} & =& AB+BC+CD+DE+AE\\ & =& 2,0\mathrm{cm}+2,8\mathrm{cm}+3,5\mathrm{cm}+2,0\mathrm{cm}+3,0\mathrm{cm}\\ & =& 13,3\mathrm{cm}\end{array}$

Areal av plane figurar

Arealet av eit rektangel

I eit rektangel som er $5$ cm langt og $3$ cm høgt, kan vi få plass til  $3·5=15$  kvadrat som kvar har eit areal på $1$ cm². Det betyr at arealet er på $15$ cm².

Vi kan altså finne arealet til eit rektangel ved å multiplisere grunnlinja med høgda. Vi kan òg seie at vi multipliserer lengda med breidda.

Vi får ein formel for arealet til eit rektangel:

$A=g·h$

Arealet av andre figurar

Vi kan òg lage formlar for arealet av andre figurar.

På figuren kan du samanlikne arealet til rektangelet med grunnlinja $g$ og høgda $h$ med arealet til trekanten med grunnlinja $g$ og høgda $h$.

Kan du forklare at arealet til rektangelet er dobbelt så stort som arealet til trekanten?

Sidan vi kan finne arealet til rektangelet ved å multiplisere grunnlinja med høgda,  $A\left(\mathrm{rektangel}\right)=g·h$, er arealet til trekanten

$A\left(\mathrm{trekant}\right)=\frac{g·h}{2}$

Kva med parallellogram, rombe og trapes?

Du kan no ta for deg eit parallellogram, ein rombe og eit trapes og sjå om du kan lage arealformlar for desse figurane på den same måten som for trekantar. Du kan samanlikne formlane dine med formlane i skjemaet nedanfor.

Arealformel for sirkel

Det er ikkje så lett å gjere ein sirkel om til eit rektangel og på den måten finne formelen for arealet. Vi får likevel ei brukbar tilnærming ved metoden vist i figuren.

Vi deler sirkelen inn i like sektorar. Så stiller vi sektorane annankvar opp og ned, slik at sektorane tilnærma blir eit parallellogram med grunnlinje tilnærma lik  $\frac{2\pi r}{2}=\pi r$  og høgde lik $r$. Arealet blir då tilnærma  $A=\pi r·r=\pi r^2$.

Jo fleire sektorar vi deler sirkelen inn i, jo betre blir tilnærminga. Dersom vi deler sirkelen i veldig mange sektorar, får vi tilnærma eit rektangel.

Areal av samansette figurar

Når vi skal rekne arealet av ein samansett figur, må vi først dele opp figuren i formålstenlege delar. Vi ser på den same samansette figuren som vi fann omkrinsen til. Korleis vil du dele opp denne figuren for å finne arealet?

Vi finn dei tre areala og legg dei saman. Vi bruker måla vi fann lenger oppe:

$\begin{array}{rcl}{A}_{ABDE} & =& 3,0\mathrm{cm}·2,0\mathrm{cm}\\ & =& 6,0{\mathrm{cm}}^2\\ A_{BCD} & =& \frac{3,0\mathrm{cm}·2,0\mathrm{cm}}{2}\\ & =& 3,0{\mathrm{cm}}^2\\ A_{CD} & =& \frac{\mathrm{\pi }·{\left(1,1\mathrm{cm}\right)}^2}{2}\\ & =& 1,90{\mathrm{cm}}^2\approx 1,9{\mathrm{cm}}^2\\ A_{ABCDE} & =& 6,0{\mathrm{cm}}^2 + 3,0{\mathrm{cm}}^2 + 1,9 {\mathrm{cm}}^2\\ & =& 10,9{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

Formlar for areal av utvalde figurar

Her har vi samla formlane i ein tabell: