Oppgåver og aktivitetar

Formlikskap

Oppgåvene nedanfor der du skal rekne, kan løysast med alle hjelpemiddel.

2.3.1

Forklar at $∆ A B C$ er formlik med $∆ D E F$ .

Kor stor er den siste vinkelen i trekantane?

vis fasit

Trekantane har parvis like store vinklar og er dermed formlike.

Den siste vinkelen er $180 ° - 45 ° - 71, 57 ° = 63, 43 °$

2.3.2

$∆ A B C$ og $∆ D E F$ er formlike.

a) Finn lengda av $A C$ .

vis fasit

Vi reknar først ut målestokken når vi går frå $∆ D E F$ til $∆ A B C$ .

$\frac{A B}{D E} = \frac{6, 0}{8, 0} = 0, 75$

Så kan vi finne lengda av $A C$ .

$A C = 10, 0 cm \cdot 0, 75 = 7, 5 cm$

b) Finn lengda av $E F$ .

vis fasit

$E F = \frac{B C}{0, 75} = \frac{6, 3 cm}{0, 75} = \frac{6, 3 cm}{\frac{3}{4}} = \frac{\overset{2, 1}{6, 3} cm \cdot 4}{3} = 8, 4 cm$

2.3.3

I $Δ D E F$ er $D E$ parallell med $G H$ . Forklar at $∆ D E F$ er formlik med $∆ G H F$ .

vis fasit

Trekantane $D E F$ og $G H F$ har felles vinkel $F$ . Dei parallelle linjene $D E$ og $G H$ blir skorne av linjene gjennom $D F$ og $E F$ . Når to parallelle linjer blir skorne av ei tredje linje, er dei samsvarande vinklane like store, dvs. at vinkel $D E F$ = vinkel $G H F$ osb. Trekantene har dermed parvis like store vinklar og er då formlike.

2.3.4

Figuren viser to trekantar $C D S$ og $A B S$ . $C D$ er parallell med $A B$ . Forklar at $∆ C D S$ er formlik med $∆ A B S$ .

Ein figur hvor linjene AB og CD er parallelle. Det er trukke linjer mellom A og D og mellom B og C. Desse linjene skjer kvarandre i S. Illustrasjon.

vis fasit

Toppvinklane $A S B$ og $C S D$ er like store. Dei parallelle linjene gjennom $A$ og $B$ og gjennom $C$ og $D$ blir skorne av linjene gjennom $A$ og $D$ og gjennom $B$ og $C$ . Når to parallelle linjer blir skorne av ei tredje linje, er dei samsvarande vinklane like store. Trekantane har dermed parvis like store vinklar og er då formlike.

2.3.5

$∆ A B C$ og $∆ D E F$ nedanfor er formlike. $∠ A = ∠ D$ . Kor store er dei andre vinklane i trekantane?

vis fasit

$\begin{array}{rcl} ∠ A C B & = & ∠ D F E \\ ∠ A C B & = & 71, 6 ° \\ ∠ C B A & = & ∠ F E B = 180 ° - 45 ° - 71, 6 ° = 63, 4 ° \end{array}$

2.3.6

Noregs høgaste tre skal vere grantreet ”Goliat” i Aurskog - Høland. Lise vil finne ut kor høgt treet er. Ho plasserer ein 2,0 m lang loddrett stav på bakken 10,0 m framfor treet. Lise siktar inn ei rett linje frå toppen av treet gjennom toppen av staven som treffer bakken 0,5 m frå staven. Bruk formlikskap og rekn ut kor høgt treet er.

vis fasit

Trekanten som bilir danna av bakken, staven og siktelinja er formlik med trekanten som blir danna av bakken, treet og siktelinja. Trekantane har felles vinkel der siktelinja treffer bakken og både staven og treet dannar $90 °$ med bakken.

$\begin{array}{rcl} Målestokk & = & \frac{10, 5}{0, 5} = 21 \\ 2, 0 m \cdot 21 & = & 42 m \end{array}$

Treet er 42 meter høgt.

2.3.7

Sjå på figuren og forklar kvifor trekantane $B S T$ og $B ´ S T ´$ er formlike.

vis fasit

Trekantane $B S T$ og $B ´ S T ´$ har felles vinkel $S$ . Begge trekantane er rettvinkla. Trekantane har då parvis like store vinklar og er formlike.

2.3.8

På figuren under er sida $P Q$ parallell med $R T$ . Forklar kvifor trekantane $P Q S$ og $R S T$ er formlike. Kva for ei side samsvarar med $S T$ ? Finn lengda av denne sida.

Figur med to formlike trekantar P Q S og R T S med felles toppvinkel S. P Q er 4 meter, S T er 5 meter og R T er 6 meter. Illustrasjon.

vis fasit

$∠ P S Q = ∠ R S T$ fordi dei er toppvinklar.

Linjene $P T$ og $R Q$ skjer dei parallelle linjene $P Q$ og $R T$ og vi har då at dei samsvarande vinklane er like. Til dømes vil $∠ S Q P = ∠ S R T$ .

Trekantane har då parvis like store vinklar og er formlike. Då $∠ S Q P = ∠ S R T$ vil sida $P S$ samsvare med sida $S T$ fordi dei er motståande sider til like store vinklar.

Forholdet er konstant mellom sider som samsvarer med kvarandre.

$\frac{P S}{S T} = \frac{P Q}{R T} \Rightarrow \frac{P S}{5 m} = \frac{4 m}{6 m} \Rightarrow P S = 5 m \cdot \frac{4}{6} = \frac{20 m}{6} = 3, 3 m$

2.3.9

Vi står på Sjøsanden og skal rekne ut avstanden ut til Hatholmen. Sjå figuren under. Vi måler avstandar og finn at $A B = 25 m$ , $C D = 200 m$ og $B C = 2, 5 m$ . Kva blir avstanden ut til Hatholmen?

To rettvinkla trekantar A B C og C D E med felles toppunkt C er plassert oppå eit kartutsnitt over området rundt Sjøsanden og Hatholmen. Vinklane D og B er rette. Punkta A, C og E ligg på ei rett linje. Punktet E er på Hatholmen medan dei andre er på fastlandet. Avstanden D E er stuttaste avstand frå Hatholmen inn til land. Illustrasjon. — Kart over området Sjøsanden-Hatholmen

vis fasit

$∆ D C E$ og $∆ B C A$ er formlike fordi vinkel $C$ er lik i dei to trekantane (toppvinklar), og begge trekantane er rettvinkla. Forholdet mellom dei samsvarande sidene $C D$ og $B C$ blir

$\frac{200}{2, 5} = 80$

$D E = A B \cdot 25 = 80 \cdot 25 = 2 000$

Avstanden $D E$ ut til Hatholmen er $2 000$ meter.

2.3.10

Denne oppgåva krev fint vêr og at du får lov av læraren din. Gå saman to og to og finn ut kor høg skulen din er.

Utstyr
- Måleband/tommestokk
Metode
- Gå ut i sola rett ved skolen.
- Få medeleven din til å måle skuggen som du lagar.
- Mål lengda av skuggen som skulen lagar.
- Mål di eiga høgd, dersom du ikkje veit kor høg du er.

Du har no to formlike trekantar og kan finne ut kor høg skulen din er!

CC BY-SASkrive av Stein Aanensen og Olav Kristensen.

Sist fagleg oppdatert 23.01.2024

Formlikskap

2.3.1

2.3.2

2.3.3

2.3.4

2.3.5

2.3.6

2.3.7

2.3.8

2.3.9

2.3.10

Reglar for bruk