Analyse av logaritmefunksjonar

Som døme skal vi drøfte funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\ln \left(x^2-1\right)$

Definisjonsmengde

Etter definisjonen av den naturlege logaritmen,  $a=e^{\ln a}$ , er den naturlege logaritmen til eit tal, $a$, talet du må opphøgje talet $e$ i for å få talet $a$ . Sidan $e^{\ln a}$ alltid er positivt, så må også $a$ alltid vere positivt. Det vil seie at den naturlege logaritmen berre er definert for positive tal.

Vår funksjon $f$ gitt ved  $f\left(x\right)=\ln \left(x^2-1\right)$, er altså berre definert for  $x^2-1>0$.

Vi teiknar forteiknslinja for  $x^2-1$. Her ser vi kanskje raskt kva nullpunkta til uttrykket er utan å rekne på det?

Funksjonen er definert for  $x\in ⟨\leftarrow , -1⟩\cup ⟨1, \to ⟩$.

Nullpunkt

$\begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ \ln \left(x^2-1\right)& =& 0\\ & & \\ x^2-1& =& 1\\ & & \\ x^2& =& 2\\ & & \\ x& =& -\sqrt{2} \vee x=\sqrt{2}\end{array}$

Monotonieigenskapar og topp- og botnpunkt

Vi undersøkjer forteiknet til $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$.

Når vi skal derivere $f\left(x\right)$, må vi bruke kjerneregelen som ser slik ut:

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & g\left(u\right(x\left)\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\end{array}$$

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \ln \left(x^2-1\right)\\ & & \\ g\left(u\right)& =& \ln \left(u\right) , u=x^2-1\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& \frac{1}{u} , u^{\text{'}}=2x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{u}·u^{\text{'}}\\ & & \\ & =& \frac{1}{x^2-1}·2x\\ & & \\ & =& \frac{2x}{x^2-1}\end{array}$$

Vi teiknar så forteiknslinja for $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$. Den deriverte er berre lik null når  $x=0$. Men dette er utanfor definisjonsmengda til funksjonen.

Av forteiknslinja til $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ kan vi lese at grafen søkk i intervallet $⟨\leftarrow , -1⟩$ og stig i intervallet $⟨1, \to ⟩$. Vi får difor ingen stasjonære punkt, som tyder ingen topp-, botn- eller terrassepunkt.

Krumningsforhold og vendepunkt

Vi undersøkjer forteiknet til $$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$. Når vi skal finne den andrederiverte, bruker vi derivasjonsregelen for kvotient (brøk).

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& = & \frac{2x}{x^2-1}=\frac{u}{v} , u=2x , v=x^2-1\\ & & \\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}·v-v^{\text{'}}·u}{v^2}=\frac{2·\left(x^2-1\right)-2x·2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}\\ & & \\ & =& \frac{-2x^2-2}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-2\left(x^2+1\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}\end{array}$$

Nemnaren i denne brøken er alltid positiv i definisjonsområdet til $$ f$$. Faktoren  $x^2+1$  i teljaren er også alltid positiv. Teljaren er derfor alltid negativ. Det tyder at den dobbeltderiverte alltid er negativ, og grafen vil derfor alltid vende den hole sida ned. Grafen har ikkje noko vendepunkt.

No kjenner vi så mykje til forløpet av grafen at det er relativt enkelt å lage ei skisse av grafen for hand. (Grafen er her laga i GeoGebra.)