Ved analyse av logaritmefunksjoner må vi huske på at det mest sannsynlig vil være begrensninger i hvilke x-verdier som er aktuelle.
Som eksempel skal vi drøfte funksjonen gitt ved
Definisjonsmengde
Ifølge definisjonen til den naturlige logaritmen, , er den naturlige logaritmen til et tall, , det tallet du må opphøye tallet i for å få tallet . Siden alltid er positivt, så må også alltid være positivt. Det vil si at den naturlige logaritmen bare er definert for positive tall.
Vår funksjon gitt ved , er altså bare definert for .
Vi tegner fortegnslinjen for . Her ser vi kanskje raskt hva nullpunktene til uttrykket er uten å regne på det?
Funksjonen er definert for .
Nullpunkter
Monotoniegenskaper og topp- og bunnpunkter
Vi undersøker fortegnet til .
Når vi skal derivere , må vi bruke kjerneregelen, som ser slik ut:
Vi får
Vi tegner så fortegnslinjen for . Den deriverte er bare lik null når . Men dette er utenfor definisjonsmengden til funksjonen.
Av fortegnslinjen til kan vi lese at grafen synker i intervallet og stiger i intervallet . Vi får derfor ingen stasjonære punkter, som betyr ingen topp-, bunn- eller terrassepunkter.
Krumningsforhold og vendepunkter
Vi undersøker fortegnet til . Når vi skal finne den andrederiverte, bruker vi derivasjonsregelen for kvotient (brøk).
Nevneren i denne brøken er alltid positiv i definisjonsområdet til . Faktoren i telleren er også alltid positiv. Telleren er derfor alltid negativ. Det betyr at den dobbeltderiverte alltid er negativ og grafen vil derfor alltid vende den hule siden ned. Grafen har ikke noen vendepunkt.
Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å lage en skisse av grafen for hånd. (Grafen er her laget i GeoGebra.)
