Analyse av eksponentialfunksjoner

Du har lært fra 1T at en funksjon $$ f$$ på formen  $$ f\left(x\right)=k·a^x$$ kalles en eksponentialfunksjon. Tallet $$ a$$ kalles vekstfaktoren.

Eksponentialfunksjoner er bare definert for positive verdier av $$ a$$, og vi forutsetter at også $$ k$$ er positiv.

Utforsking

Før du leser videre, kan du selv ved hjelp av den deriverte og den dobbeltderiverte av eksponentialfunksjonen se om du kan finne ut noe om monotoniegenskaper, nullpunkter, vendepunkter, krumningsforhold og andre ting som gjelder for eksponentialfunksjoner.

Eksponentialfunksjonen

$$ \begin{array}{c}f\left(x\right)=k·a^x\\ \Downarrow \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=k·a^x·\ln a\\ \Downarrow \\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=k·a^x·{\left(\ln a\right)}^2\end{array}$$

Siden $$ a^x$$ alltid er positiv, og vi har forutsatt at $$ k$$ er positiv, viser den deriverte at

• hvis $$ \ln a$$ er positiv, er $$ f$$ strengt voksende, det vil si at den vokser i hele sitt definisjonsområde
• hvis $$ \ln a$$ er negativ, er $$ f$$ strengt avtagende, det vil si at den avtar i hele sitt definisjonsområde

• hvis $$ \ln a$$ er null, er  $$ f\left(x\right)=k$$

  
  

Siden $$ \ln a<0 $$ når $$ a<1, \ln a=0 $$ når $$ a=1$$, og $$ \ln a>0$$  når $$ a>1$$, betyr dette at

• $$ f$$ er strengt voksende når  $$ a>1$$
• $$ f$$ er strengt avtagende når  $$ a<1$$
• $$ f\left(x\right)=k$$  når  $$ a=1$$

Det betyr videre at

• eksponentialfunksjonen ikke har nullpunkter
• eksponentialfunksjonen ikke har topp- eller bunnpunkter

Den dobbeltderiverte er positiv for alle  $$ a\ne 1$$. Det betyr at

• eksponentialfunksjonen vender den hule sida opp når $$ a\ne 1$$
• eksponentialfunksjonen ikke har vendepunkter når $$ a\ne 1$$

Når  $$ a=1$$, er  $$ f\left(x\right)=k$$, og grafen er ei rett linje parallell med $$ x$$-aksen.

Vi kan også merke oss at  $$ f\left(0\right)=k·a^0=k$$, som betyr at eksponentialfunksjonen alltid skjærer $$ y$$-aksen i punktet $$ \left(0, k\right)$$.

Prøv selv!

Du kan sjekke ut konklusjonene i GeoGebra ved å lage glidere for $$ a\text{ og} k$$ og skrive inn funksjonsuttrykket  $$ f\left(x\right)=k·a^x$$. Nedenfor har vi laget ferdig et slikt geogebraark der du kan dra i gliderne for $$ k$$ og $$ a$$.