Analyse av rasjonale funksjonar

Som døme skal vi drøfte den rasjonale funksjonen f gitt ved

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle 3x}}{{\displaystyle x-1}}}$

Definisjonsmengde

Når $x=1$, blir nemnaren null. Funksjonen er ikkje definert for $x=1$. Da kan vi skrive

$D_f=ℝ\backslash \left\{1\right\}$

Asymptotar

Vertikal asymptote

Linja $x=a$ er ein vertikal asymptote dersom nemnaren blir null og teljaren blir eit tal ulikt null for $x=a$.

For $x=1$ blir teljaren lik $3·x=3·1=3$, og nemnaren blir $x-1=1-1=0$.

Det tyder at $x=1$ er en vertikal asymptote.

Horisontal asymptote

Linja $y=a$ er ein horisontal asymptote for ein funksjon f dersom $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=a$.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & = & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3x}}{{\displaystyle x-1}}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3x}}{{\displaystyle x}}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}}}}\\ & & \\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3\cancel{x}}}{{\displaystyle \cancel{x}}}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \cancel{x}}}{{\displaystyle \cancel{x}}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}}}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 1-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 1-0}}}=3\end{array}$

Det tyder at $y=3$ er horisontal asymptote.

Dersom funksjonen vi undersøker, har teljar av høgare grad enn nemnar, kan funksjonen ha ein asymptote som er avhengig av x. Da kallar vi ofte asymptoten for ein asymptotefunksjon. Du kan lese om asymptotefunksjonar på teorisida "Rasjonale funksjonar, horisontal asymptote og asymptotefunksjon".

Verdimengde

f kan ha alle funksjonsverdiar unnateke 3. Verdimengda er difor

$V_f=ℝ\backslash \left\{3\right\}$

Monotonieigenskapar og topp- og botnpunkt

Vi undersøker forteiknet til $f\text{'}\left(x\right)$.

$f\text{'}\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \left(3x\right)\text{'}·\left(x-1\right)-3x·\left(x-1\right)\text{'}}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}}}{\displaystyle =}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3·\left(x-1\right)-3x·1}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}}}{\displaystyle =}{\displaystyle \frac{{\displaystyle -3}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}}}$

Nemnaren ${\left(x-1\right)}^2$ er alltid positiv, og teljaren er alltid negativ.

Det tyder at grafen alltid søkk i sitt definisjonsområde, og grafen har derfor ikkje topp- eller botnpunkt.

Dersom grafen til funksjonen vi undersøker har ein asymptotefunksjon, kan funksjonen ha ekstremalpunkt.

Krumningsforhold og vendepunkt

Vi undersøker forteiknet til $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \left(-3\right)\text{'}·{\left(x-1\right)}^2-\left(-3\right)\left({\left(x-1\right)}^2\right)\text{'}}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^4}}}{\displaystyle =}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 3·2\left(x-1\right)}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^4}}}{\displaystyle =}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 6}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^3}}}$

Nemnaren ${\left(x-1\right)}^3$ er negativ for $x\in ⟨\leftarrow , 1⟩$ og positiv for $x\in ⟨1, \to ⟩$. Teljaren er alltid positiv. Det gir den følgande forteiknslinja for $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$:

Av forteiknslinja kan vi lese at grafen vender si hole side ned for $x\in ⟨\leftarrow , 1⟩$ og si hole side opp for $x\in ⟨1, \to ⟩$. Eit eventuelt vendepunkt måtte vore for $x=1$, men for denne verdi er ikkje funksjonen definert. Det vil seie at grafen ikkje har noko vendepunkt.

Skjeringspunkt mellom grafen og koordinataksane

Det kan også vere nyttig å ta med eventuelle skjeringspunkt med koordinataksane i drøftinga.

Skjering med y-aksen

$f\left(0\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle 3·0}}{{\displaystyle 0-1}}}=0$

Skjering med x-aksen (nullpunkt)

$\begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ {\displaystyle \frac{{\displaystyle 3x}}{{\displaystyle x-1}}}& =& 0\\ & & \\ 3x& =& 0\\ & & \\ x& =& 0\end{array}$

No kjenner vi så mye til forløpet av grafen at det er relativt enkelt å teikne ei skisse av grafen for hand. (Grafen er teikna i GeoGebra.)

Film: Rasjonale funksjoner og asymptoter

I filmen under (lengde 7:55) får du ein gjennomgang av rasjonale funksjonar og asymptotar.