Gruppert datamateriale

Hugs at histogramhøgde er frekvens delt på klassebreidde. Når vi bruker GeoGebra, treng vi òg ei liste med klassegrensene, og desse tala er fine å bruke til å rekne ut klassebreiddene.

I GeoGebra lagar vi lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøgdene. Så bruker vi kommandoen "Histogram(Liste med klassegrenser, Liste med høgder)".

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Olav Kristensen

Under innstillingane til $$ y$$-aksen har vi late $$ y$$-aksen krysse ved 140.

Vi startar med medianen. Nedanfor har vi lagt til ein kolonne med kumulativ frekvens til frekvenstabellen.

Medianeleven er elev nummer

$$ \frac{323+1}{2}=162$$

Elev nummer 162 hamnar så vidt i klassen med høgder frå og med 175 til 180. Elev nummer 162 blir elev nummer  $$ 162-160=2$$  i denne klassen. Medianhøgda blir då

$$ 175 \mathrm{cm}+\frac{2}{64}·5 \mathrm{cm}=175,2 \mathrm{cm}$$

Medianhøgda blir her nesten det same som klassegrensa sidan medianeleven har eit nummer som berre er litt større enn den kumulative frekvensen til klassen over.

Gjennomsnittshøgda er 175,3 cm, og standardavviket er 8,0 cm. Vi bruker det vanlege standardavviket sidan vi har tilgang på alle tala. Sjå GeoGebra-ark nedst på sida.

Talet på personar i tusen:

$1536+622+722+1422+287+220=4809$

Det budde cirka 4,8 millionar i Noreg i 2009.

Vi legg tala inn i reknearkdelen i GeoGebra. Vi minner om at histogramhøgde er frekvens delt på klassebreidde.

I GeoGebra lagar vi deretter lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøgdene. Så bruker vi kommandoen "Histogram(Liste med klassegrenser, Liste med høgder)".

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Olav Kristensen

Vi lagar ein kolonne med kumulativ frekvens i reknearkdelen i GeoGebra.

Medianalderen er person nummer (i tusen)

$$ $ \frac{4 809+1}{2}=2 405$$$

Av kolonnen med kumulative frekvensar får vi at tal nummer 2 405 hamnar i klassen med alder frå og med 35 til 45. Det er fordi kumulativ frekvens for denne klassen er større enn 2 405 og kumulativ frekvens for klassen [25, 35⟩ er mindre (2 158). Tal nummer 2 405 blir tal nummer

 $$ 2 405-2 158=247$$

i denne klassen. Medianalderen blir då

$$ 35 \mathrm{år}+\frac{247}{722}·10 \mathrm{år}=38,4 \mathrm{år}$$

Medianalderen er altså 38 år.

Gjennomsnittsalderen er 40 år, og standardavviket er 24 år. Sjå GeoGebra-ark nedst på sida der vi òg har rekna ut medianalderen i reknearkdelen.

Vi legg tala i reknearkdelen i GeoGebra.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Olav Kristensen

Vi vel å presentere resultata i eit histogram. Vi lagar lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøgder frå oppgåva over.

Vi set opp resultata i stigande rekkjefølgje.

Medianen blir gjennomsnittet av tiande og ellevte måling, som er utheva i tabellen over.

Medianen er

$\frac{103,8 \mathrm{km}/\mathrm{t}+104,1 \mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=103,95 \mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 104,0 \mathrm{km}/\mathrm{h}$

Medianen er den midtarste observasjonsverdien når alle observasjonsverdiane er sorterte i stigande rekkjefølgje. I denne oppgåva har vi 20 fartsmålingar. Sidan vi no har eit gruppert materiale, bruker vi ikkje gjennomsnittet av tal nummer 10 og 11, men det første talet, tal nummer 10. Vi legg til ein kolonne med kumulativ frekvens i tabellen. Då ser vi at tal nummer 10 må liggje i intervallet $$ [100, 105\rangle $$. Tal nummer 10 ligg  $$ 10-5=5$$  plassar frå venstre klassegrense.

Medianhastigheita blir

$$ \left(100+\frac{5}{7}·5\right)\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 103,6 \mathrm{km}/\mathrm{h}$$

I den første oppgåva bruker vi enkeltmålingane til å finne medianen. I den andre oppgåva finn vi først i kva gruppe medianen ligg. Vi bereknar så kvar i gruppa medianen omtrent må liggje. Ved denne utrekninga går vi ut frå at målingane i gruppa fordeler seg jamt. Dette blir ikkje heilt nøyaktig, og svara vil i dei fleste tilfelle vere ulike.

Gjennomsnittsfart med enkeltmålingane: 105,9 km/h

Gjennomsnittsfart med grupperte tal: 104,5 km/h

Sjå det nedlastbare GeoGebra-arket til oppgåva.

I den første utrekninga finn vi den nøyaktige gjennomsnittsfarten av dei 20 målingane. I den andre bruker vi klassemidtpunktet og bereknar gjennomsnittsfarten ut frå dette. Vi går dermed ut frå at målingane i kvar klasse fordeler seg jamt, noko som gir eit litt unøyaktig resultat.

Valet av type standardavvik kjem an på korleis tala skal brukast. Statens vegvesen ønskjer å seie noko om kor fort (alle) bilane køyrer på denne vegstrekninga. Dei har ikkje kapasitet til å måle alle bilane som køyrer, så dei har målt eit utval av dei. Derfor blir det mest rett å bruke utvalsstandardavvik i denne situasjonen.

Dersom målet hadde vore å seie noko om spreiinga berre på dei 20 bilane som vart målte, ville det ha vore mest rett å bruke det vanlege standardavviket (populasjonsstandardavviket).

Standardavvik med enkeltmålingane: 10,3 km/h

Standardavvik med grupperte tal: 11,5 km/h

Sjå det nedlastbare GeoGebra-arket til oppgåva.

Her blir det òg litt ulikt svar sidan det første talet er basert på enkeltmålingane og det andre på tala når dei er grupperte.