Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrat

Eit fullstendig kvadrat er eit andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Til dømes er uttrykket $x^2-6x+9$ eit fullstendig kvadrat fordi

$x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$

Korleis kan vi sjå om eit andregradsuttrykk er eit fullstendig kvadrat?

Vi bruker uttrykket $x^2-6x+9$ som eksempel.

Kan uttrykket skrivast som $a^2+2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2$ eller $a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2$?

1. Første føresetnad er at andregradsleddet og konstantleddet er kvadratiske uttrykk med positivt forteikn. Det stemmer her, og vi finn at $a=\sqrt{x^2}=x$ og $b=\sqrt{9}=3$.
   
2. Vidare må «det dobbelte produktet», det vil seie $2ab$, vere lik$6x$. Vi sjekkar: $2ab=2·x·3=6x$. Det stemmer.
3. Førstegradsleddet er negativt. Det betyr at vi kan bruke andre kvadratsetning.
   $\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}$Då er $x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$, og vi har eit fullstendig kvadrat.

Oppgåve

Undersøk om $x^2+8x+16$ og $x^2-5x+25$ er fullstendige kvadrat.

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrat, men det er mogleg å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage eit fullstendig kvadrat og så bruke konjugatsetninga.

Vi skal sjå på to eksempel der vi bruker denne metoden.
Vi må lage uttrykk på forma $a^2+2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2$ eller $a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2$.

Eksempel 1

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket $x^2+4x-5$.

1. Andregradsleddet er eit kvadratuttrykk, $x^2$. Det gir $a=\sqrt{x^2}=x$.
2. Konstantleddet, $-5$, er ikkje eit kvadrattal med positivt forteikn.
   Vi legg til og trekkjer frå kvadrattalet $b^2$ til uttrykket og får
   $\begin{array}{rcl}& & \\ x^2+4x-5& =& \underset{\mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat}}{\underbrace{x^2+4x+b^2}}-b^2-5\\ & & \end{array}$
   Dette gjer vi for å lage eit fullstendig kvadrat av de tre første ledda.
3. Vi må ha $2ab=4x$. Vi kan då finne $b$:
   $\begin{array}{rcl}& & \\ 2ab& = & 4x\Rightarrow b=\frac{4x}{2a}=\frac{4x}{2x}=2\\ & & \end{array}$
4. Vi får då
   $\begin{array}{rcl}& & \\ x^2+4x-5& = & \underbrace{x^2+4x+2^2}-4-5 \mathrm{Vi} \mathrm{legg} \mathrm{til} \mathrm{og} \mathrm{trekkjer} \mathrm{frå} 2^2.\\ & & \mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat}\\ & & \\ & =& (x+2{)}^2-9 \mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat} \mathrm{etter} 1. \mathrm{kvadratsetning}\\ & & \\ & =& (x+2{)}^2-3^2 \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{konjugatsetninga}.\\ & & \\ & =& \left(\right(x+2)+3)·\left(\right(x+2)-3)\\ & & \\ & =& (x+5)·(x-1)\end{array}$

$$Vi har no faktorisert andregradsuttrykket og fått

$x^2+4x-5=\left(x+5\right)·\left(x-1\right)$

Eksempel 2

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket $2x^2-8x-42$.
Vi må lage uttrykk på forma $a^2+2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2$ eller $a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2$.

1. Her er ikkje andregradsleddet eit kvadratuttrykk, men når vi set faktoren $2$ utanfor ein parentes, får vi eit uttrykk der andregradsleddet er eit kvadratuttrykk:
   $\begin{array}{rcl}& & \\ 2x^2-8x-42& = & 2\left(x^2-4x-21\right)\\ & & \end{array}$
2. Vi faktoriserer parentesuttrykket. Andregradsleddet er $x^2$. Det gir $\begin{array}{rcl}& & \\ a& = & \sqrt{x^2}=x\\ & & \end{array}$
3. Konstantleddet, $-21$, er ikkje eit kvadrattal med positivt forteikn.
   Vi legg til og trekkjer frå kvadrattalet $b^2$ til uttrykket og får $\begin{array}{rcl}& & \\ x^2-4x-21& =& \underset{\mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat}}{\underbrace{x^2-4x+b^2}}-b^2-21\\ & & \end{array}$

4. Vi må ha $2ab=4x$. Vi kan då finne $b$:

   $\begin{array}{rcl}& & \\ 2ab& = & 4x\Rightarrow \frac{4x}{2a}=\frac{4x}{2x}=2\\ & & \end{array}$
5. Vi får då
   $\begin{array}{rcl}& & \\ x^2-4x-21& = & \underbrace{x^2-4x+2^2}-4-21 \mathrm{Vi} \mathrm{legg} \mathrm{til} \mathrm{og} \mathrm{trekkjer} \mathrm{frå} 2^2.\\ & & \mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat}\\ & & \\ & =& (x-2{)}^2-25 \mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat} \mathrm{etter} 2. \mathrm{kvadratsetning}\\ & & \\ & =& (x-2{)}^2-5^2 \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{konjugatsetninga}.\\ & & \\ & =& \left(\right(x-2)+5)·\left(\right(x-2)-5)\\ & & \\ & =& (x+3)·(x-7)\end{array}$

Vi har no faktorisert andregradsuttrykket og fått

$2x^2-8x-42=2\left(x^2-4x-21\right)=2\left(x+3\right)\left(x-7\right)$