Oppgåver og aktivitetar

Vekstfaktor og prosentvis endring

Prøv å løyse så mange av desse oppgåvene som mogleg utan hjelpemiddel.

PS-20

Finn vekstfaktoren når prisen på ei vare blir auka med

a) 10 %
b) 50 %
c) 27,5 %
d) 72 %
e) 1,53 %
f) 0,6 %

Løysing

a) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{10}{100} = 1, 10$ .

b) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{50}{100} = 1, 50$ .

c) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{27, 5}{100} = 1, 275$ .

d) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{72}{100} = 1, 72$ .

e) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{1, 53}{100} = 1, 0153$ .

f) Vekstfaktoren blir $1 + \frac{0, 6}{100} = 1, 006$ .

PS-21

Finn vekstfaktoren når prisen på ei vare blir sett ned med

a) 10 %
b) 50 %
c) 27,5 %
d) 7,2 %
e) 1,53 %
f) 0,6 %

Løysing

a) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{10}{100} = 0, 90$ .

b) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{50}{100} = 0, 50$ .

c) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{27, 5}{100} = 0, 725$ .

d) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{7, 2}{100} = 0, 928$ .

e) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{1, 53}{100} = 0, 9847$ .

f) Vekstfaktoren blir $1 - \frac{0, 6}{100} = 0, 994$ .

PS-22

Kva for ei prosentvis endring svarer til kvar av vekstfaktorane nedanfor?

a) 1,50
b) 1,35
c) 0,75
d) 1,05
e) 0,96
f) 2,45

Løysing

Vekstfaktoren svarer til ein

a) auke på 50 %
b) auke på 35 %
c) reduksjon på 25 %
d) auke på 5 %
e) reduksjon på 4 %
f) auke på 145 %

PS-23

Ei vare kostar 500 kroner.

Kva kostar vara etter at prisen er auka med 25 prosent? Bruk vekstfaktor.

Løysing

Vekstfaktoren blir $1 + \frac{25}{100} = 1, 25$ .

Ny pris på vara blir $500 kr \cdot 1, 25 = 625 kr$ .

PS-24

Ei vare kostar 500 kroner.

a) Kva kostar vara etter at prisen er sett ned med 25 prosent? Bruk vekstfaktor.

Løysing

Vekstfaktoren blir $1 - \frac{25}{100} = 0, 75$ .

Ny pris på vara blir $500 kr \cdot 0, 75 = 375 kr$ .

b) Emilie skulle løyse denne oppgåva:

"Etter at ei vare vart sett ned 25 prosent, vart den nye prisen 375 kroner. Kva kosta vara opphavleg?"

Emilies løysing:

$\frac{375 kr}{100 %} \cdot 25 % = 93, 75 kr$

$375 kr + 93, 75 kr = 468, 75 kr$

Den opphavlege prisen var 468,75 kroner.

Kvifor er Emilies løysing feil?

Løysing

Emilie prøver først å rekne ut kva 25 prosent svarer til. Ho prøver å gå "vegen om 1" ved å dele 375 kroner på 100. Då føreset ho at 375 kroner svarer til 100 prosent, noko det ikkje gjer. Dei 375 kronene svarer det til som er igjen etter at det er trekt frå 25 prosent, det vil seie 75 prosent. Det er den opphavlege prisen som svarer til 100 prosent.

Emilie skulle derfor ha delt på 75 i staden for 100 i den første utrekninga. Eit anna alternativ er å dele tilbodsprisen med vekstfaktoren for å rekne seg tilbake til opphavleg pris:

$\frac{375 kr}{0, 75} = 500 kr$

Dette stemmer med det vi fann i oppgåve a).

PS-25

Ei vare som kosta 1 500 kr, blir først sett opp med 12 prosent, for så å bli sett ned med 20 prosent.

a) Finn den nye prisen. Bruk vekstfaktor.

Løysing

Ein auke på 12 prosent gir vekstfaktoren 1,12.

Eit avslag på 20 prosent gir vekstfaktoren 0,80.

Den nye prisen på vara blir

$1 500 kr \cdot 1, 12 \cdot 0, 80 = 1 344 kr$

b) Kor mange prosent er desse to endringane sett under eitt?

Løysing

Vi må finne vekstfaktoren for den totale endringa.

Vekstfaktoren – alternativ 1

Vi reknar ut vekstfaktoren ved å dele den nye verdien på den opphavlege verdien.

$\frac{1 344 kr}{1 500 kr} = 0, 896$

Vekstfaktoren – alternativ 2

Dersom vi multipliserer saman dei to vekstfaktorane i oppgåve a), vil vi få eitt tal som vil vere vekstfaktor for prisendringa frå 1 500 kroner til 1 344 kroner.

$1, 12 \cdot 0, 8 = 0, 896$

Merk at med alternativ 2 treng vi ikkje kjenne prisane for å rekne ut den totale prosentvise endringa.

Når vekstfaktoren er 0,896, er det totalt sett ein prosentvis nedgang. Vi kan finne prosenten ved å løyse likninga

$0, 896 = 1 - \frac{p}{100}$

Vi kan løyse likninga med manuell rekning. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra, får vi

CAS-vindauget i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrive 0,896 er lik 1 minus p delt på 100. Svaret med "Løys" er p er lik 52 femdelar. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er p er lik 10,4. Skjermutklipp.

Totalt sett har prisen på vara vorte redusert med 10,4 prosent.

I linje 2 i CAS har vi skrive $1 og trykt på knappen $\approx_{}^{}$ for å få resultatet i første linje skrive som eit desimaltal.

c) Forklar kvifor vi ikkje finn den totale prosentvise endringa ved å rekne direkte med prosentane slik: $12 % - 20 % = - 8 %$ .

Løysing

Vi kan ikkje rekne direkte med prosentane fordi dei ikkje blir rekna av same tal. Dei 20 prosentane i prisreduksjon blir ikkje rekna av den opphavlege prisen.

PS-26

Prisen for ei vare som kosta 1 500 kroner blir først sett ned med 12 prosent, for så å bli sett opp med 20 prosent.

a) Finn den nye prisen. Bruk vekstfaktor.

Løysing

Eit avslag på 12 prosent gir vekstfaktoren 0,88.

Ein prisauke på 20 prosent gir vekstfaktoren 1,20.

Den nye prisen på vara blir

$1 500 kr \cdot 0, 88 \cdot 1, 20 = 1 584 kr$

b) Kor mange prosent har prisen vorte sett opp i alt?

Løysing

Vekstfaktoren for heile endringa er $\frac{1 584 kr}{1 500 kr} = 1, 056$ .

I staden for å finne prosenten ved å løyse likning kan vi rekne manuelt slik: $1, 056 - 1 = 0, 056$ . Dette er desimaltalet som svarer til prosenten for prisoppgangen. Prosenten er derfor $0, 056 \cdot 100 % = 5, 6 %$ .

Prisauken er på 5,6 prosent.

Alternativt kan vi rekne ut den totale vekstfaktoren som produktet av dei to vekstfaktorane.

$0, 88 \cdot 1, 20 = 1, 056$

c) Forklar kvifor vi ikkje finn den totale prosentvise endringa ved å rekne direkte med prosentane slik: $20 % - 12 % = 8 %$ .

Løysing

Vi kan ikkje rekne direkte med prosentane fordi dei ikkje blir rekna av same tal. Dei 20 prosentane i prisauke blir ikkje rekna av den opphavlege prisen.

PS-27

Ei vare som kosta 900 kroner, blir først sett ned med 10 prosent, for så å bli sett ned med 5 prosent til.

a) Finn den nye prisen. Bruk vekstfaktor.

Løysing

Eit avslag på 10 prosent gir vekstfaktoren 0,90.

Eit avslag på 5 prosent gir vekstfaktoren 0,95.

Den nye prisen på vara blir

$900 kr \cdot 0, 90 \cdot 0, 95 = 769, 50 kr$ .

b) Kor mange prosent har prisen vorte sett ned i alt?

Løysing

Vekstfaktoren for heile endringa er $\frac{769, 50 kr}{900 kr} = 0, 855$ .

I staden for å finne prosenten ved å løyse likning, kan vi rekne manuelt slik:

$1 - 0, 855 = 0, 145$

Dette er desimaltalet som svarer til prosenten for prisnedslaget. Prosenten er derfor $0, 145 \cdot 100 % = 14, 5 %$ .

Prisen er i alt sett ned med 14,5 prosent.

Alternativt kan vi rekne ut den totale vekstfaktoren av produktet av dei to vekstfaktorane.

$0, 90 \cdot 0, 95 = 0, 855$

PS-28

Ein genser kosta først 800 kroner. Så vart prisen sett opp til 900 kroner. Seinare vart det sal, og prisen vart sett ned med 20 prosent.

Kor mange prosent var den totale endringa?

Løysing

Vi kan løyse oppgåva utan å finne prisen etter at genseren kom på sal. Med CAS i GeoGebra kan det sjå slik ut.

Utklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 900 delt på 800. Svaret er 9 åttedeler. På linje 2 er det skrevet 9 åttedeler multiplisert med 0,8. Svaret er 9 tideler. På linje 3 er det skrevet 1 minus p delt på 100 er lik 9 tideler. Svaret med "Løs" er p er lik 10.

Kan du forklare kva som er gjort på kvar linje?

På linje 1 er forholdet mellom prisen etter den første endringa og den opphavlege prisen rekna ut. Dette gir vekstfaktoren for den første endringa.

På linje 2 er vekstfaktoren for den første endringa multiplisert med vekstfaktoren for den andre endringa for å finne vekstfaktoren for den totale endringa.

På linje 3 løyser vi ei likning for å finne vekstfaktoren.

Totalt sett har prisen på genseren gått ned med 10 prosent (frå den opphavlege prisen på 800 kroner).

PS-29

a) Kor mange prosent aukar eit tal dersom det doblar seg?

Løysing

Når eit tal doblar seg, aukar det med like mykje som seg sjølv, det vil seie 100 prosent.

b) Kva blir vekstfaktoren i oppgåve a)?

Løysing

Ei dobling betyr at vi multipliserer med 2. Dette må derfor òg vere vekstfaktoren. Vi kontrollerer svaret ved å bruke formelen for vekstfaktoren:

$1 + \frac{100}{100} = 1 + 1 = 2$

c) Kva blir vekstfaktoren dersom eit tal blir halvert?

Løysing

Ei halvering må bety at talet blir multiplisert med $\frac{1}{2}$ , som då blir vekstfaktoren.

d) Kor mange prosent større blir eit tal dersom vekstfaktoren er 8?

Løysing

Vi kan setje opp ei likning ut frå formelen for vekstfaktoren.

$\begin{array}{rcl} 1 + \frac{p}{100} & = & 8 \\ \frac{p}{100} & = & 7 \\ p & = & 700 \end{array}$

Talet blir 700 prosent større.

e) Kva blir vekstfaktoren når noko aukar med 600 prosent?

Løysing

Vekstfaktoren blir

$1 + \frac{600}{100} = 1 + 6 = 7$

Dette såg du kanskje utan å måtte rekne det ut ved å samanlikne med oppgåve d)?

CC BY-SASkrive av Stein Aanensen, Olav Kristensen og Bjarne Skurdal.

Sist fagleg oppdatert 13.05.2022

Vekstfaktor og prosentvis endring

PS-20

PS-21

PS-22

PS-23

PS-24

PS-25

PS-26

PS-27

PS-28

PS-29

Reglar for bruk