Lineær regresjon

Tabellen nedanfor viser folkemengda i Noreg for nokre utvalgte år i perioden fra 1950 til 2000.

a) Plott punkta i et koordinatsystem og finn eit tilnærma lineært uttrykk for ein funksjon $f$ som beskriv samanhengen mellom år og folkemengde ved å bruke eit digitalt verktøy. La $x$ vere talet på år etter 1950 og $f\left(x\right)$ folkemengda i millioner.

vis fasit

Eg valde «Rekneark». La punkta frå tabellen nedanfor inn i kolonne A og B.

x	0	10	20	30	40	50
f(x)	3,2	3,6	3,9	4,1	4,2	4,5

Merkte området A1:B6. Eg valde så «Regresjonsanalyse» og «Analyser».

Som regresjonsmodell valde eg «Lineær»

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen

Funksjonen $f$ kan beskrivast med uttrykket $f\left(x\right)=0,024x+3,315$

Eg valde «Kopier til grafikkfeltet»

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen

b) Kor mye aukar folkemengda med per år ut fra uttrykket du fann a)?

c) Dersom denne utviklinga held fram, kva vil folkemengda i Norge vere i år 2050?

Tabellen nedanfor viser utslepp av svoveldioksid til luft i Noreg for nokre utvalte år fra 1973 til 2000.

a) Plott punkta i eit koordinatsystem og finn eit tilnærma lineært uttrykk for en funksjon $S$ som beskriv samanhengen mellom år og utslepp.

La x være talet på år etter 1973 og $S\left(x\right)$ utsleppet av svoveldioksid i tusen tonn.

vis fasit

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Eg bruker lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen $S$ kan beskrivast med uttrykket $S\left(x\right)=-5,39x+158$

b) Når var utsleppet av svoveldioksid 100 tusen tonn?

c) Kva vil utsleppet vere i år 2010 dersom vi følgjer denne modellen? Kommenter svaret.

vis fasit

Utslepp i år 2010:

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Utsleppet kan ikkje vere negativt. Modellen ovanfor kan ikkje brukast til å vurdere utslepp i lang tid framover. Når vi ser på punkta og grafen ovanfor, ser vi at modellen passar bra fram til 1996. Etter det blir ikkje utsleppa lenge r så mye mindre for kvart år. Ein lineær modell passar dårleg etter 1996.

Tabellen viser utviklinga i prisindeksen på frukt, tobakk og sko.

1. Plott punkta i tabellen i eit koordinatsystem, og bruk regresjon i eit digitalt hjelpemiddel til å finne ein lineær samanheng som viser prisutviklinga for kvar av varene i tabellen ovanfor.La $x$ vere talet på år fra 1998, $F\left(x\right)$ prisutviklinga på frukt, $T\left(x\right)$ prisutviklinga for tobakk og $S\left(x\right)$ prisutviklingen for sko og anna fottøy.
   vis fasit

   Frukt: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $F\left(x\right)=0,8x+101$.

   Tobakk: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $T\left(x\right)=7,7x+100$.

   Sko og anna fottøy: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $S\left(x\right)=-2,2x+104$.

   

   Opne bilete i eit nytt vindauge

   CC BY-NC-SA

   Bilete: Bjarne Skurdal

2. Bruk modellane du fann i a), og finn prisindeksen på frukt, tobakk og sko og anna fottøy i 2005.
   vis fasit

   Prisindeks i 2005 for frukt er $0,8·8+101=107,4$

   Prisindeks i 2005 for tobakk er $7,7·8+100=161,6$

   Prisindeks i 2005 for sko og anna fottøy er $-2,2·8+104=86,4$

3. Korleis synes du modellane dine stemmer med punkta?
   vis fasit

   Modellane stemmer ganske bra med dei observerte verdiane.

Tabellen viser prisutviklinga for varegruppa klede i perioden 1997 til 2004.

1. Bruk tabellen og eit digitalt hjelpemiddel til å finne ein lineær samanheng mellom årstala og prisutviklinga på klede.
   La $x$vere talet på år frå1990 og $P\left(x\right)$ prisutviklinga på klede.
   vis fasit

   Eg bruker GeoGebra og finn den lineære modellen

   $P\left(x\right)=-4,3x+136$

2. Kva var prisindeksen i 2007 og 1990 etter denne modellen?
   vis fasit

   Prisindeks i 2007 er $P\left(17\right)=-4,3·17+135,9=62,8$

   Prisindeks i 1990 er $P\left(0\right)=-4,3·0+135,9=135,9$

3. Tabellen ovanfor er henta frå Statistisk sentralbyrå (SSB). Etter SSB var prisindeksen for varegruppa klede i 2007 på 61,6 og i 1990 på 99,5. Korleis stemmer denne indeksen med indeksen du fekk ved å bruke modellen?
   vis fasit

   Modellen byggjer på dei observerte verdiane i perioden 1997 til 2008. I 2007 gir modellen ein prisindeks på 62,8, medan han verkeleg var 61,6. Vi kan dermed seie at modellen treffer svært bra når det gjeld 2007.

   I perioden frå 1997 til 2008 fall prisen på klede. Modellen vår vil dermed vise at prisen på klede fall frå 1990 og framover. Prisindeksen på 133,3 vil vere den høgaste i heile perioden 1990 – 2008.

   Når den verkelege prisindeksen i 1990 var på 99,5, så tyder det at vår modell treffer dårleg. Prisutviklinga på klede følgjer ikkje modellen vår i perioden 1990 til 1997. Frå 1990 fram til 1997 har det faktisk vore ein auke i prisindeksen.