Likningssett av første og andre grad

$\begin{array}{rcl}x& = & 4-y\\ & & \\ {\left(4-y\right)}^2-y& =& 16\\ & & \\ 16-8y+y^2-y-16& =& 0\\ & & \\ y^2-9y& =& 0\\ & & \\ y\left(y-9\right)& =& 0\\ & & \\ y& =& 0 \vee y-9=0\\ & & \\ y& =& 0 \vee y=9\\ & & \\ y& =& 0 \mathrm{gir} x=4-0=4\\ & & \\ y& =& 9 \mathrm{gir} x=4-9=-5\\ & & \\ & & \mathrm{Likningssettet} \mathrm{har} \mathrm{to} \mathrm{løysingar}.\\ & & \\ x& =& 4 \wedge y=0\\ & & \\ x& =& -5 \wedge y=9\end{array}$

$\begin{array}{rcl}x& = & 1-y\\ & & \\ 1-y+y^2& =& 3\\ & & \\ y^2-y-2& =& 0\\ & & \\ y& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ y& =& \frac{1\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ y& =& \frac{1+3}{2} \vee y=\frac{1-3}{2}\\ & & \\ y& =& 2 \vee y=-1\\ & & \\ y& =& 2 \mathrm{gir} x=1-2=-1\\ & & \\ y& =& -1 \mathrm{gir} x=1-\left(-1\right)=2\\ & & \\ & & \mathrm{Likningssettet} \mathrm{har} \mathrm{to} \mathrm{løysingar}.\\ & & \\ x& =& -1 \wedge y=2\\ & & \\ x& =& 2 \wedge y=-1 \\ & & \end{array}$

$\begin{array}{rcl}x& = & -2-y\\ & & \\ {\left(-2-y\right)}^2+y^2& =& 4\\ & & \\ 4+4y+y^2+y^2& =& 4\\ & & \\ 2y^2+4y& =& 0\\ & & \\ 2y\left(y+2\right)& =& 0\\ & & \\ 2y& =& 0 \vee y+2=0\\ & & \\ y& =& 0 \vee y=-2\\ & & \\ y& =& 0 \mathrm{gir} x=-2-0=-2\\ & & \\ y& =& -2 \mathrm{gir} x=-2-\left(-2\right)=0\\ & & \\ & & \mathrm{Likningssettet} \mathrm{har} \mathrm{to} \mathrm{løysingar}.\\ & & \\ x& =& -2 \wedge y=0\\ & & \\ x& =& 0 \wedge y=-2 \\ & & \\ & & \end{array}$

Vi kallar sidelengdene i dei to kvadrata for høvesvis $x$ og $y$. Vi set opp to likningar.

$\left[\begin{array}{rcl}4x+4y& =& 56\\ & & \\ x^2+y^2& =& 100\end{array}\right]$

Løyser likningssettet ved hjelp av GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 4\mathrm{x}+4\mathrm{y}=56\\ \overline{)1}& & \\ & & \to 4\mathrm{x}+4\mathrm{y}=56\end{array}}$ $\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=100\\ \overline{)2}& & \\ & & \to {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=100\end{array}}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \{\$1,\$2\}\\ \overline{)3}& & \\ & & \mathrm{Løys}: \left\{\right\{\mathrm{x}=6,\mathrm{y}=8\left\}\right\{x=8,y=6\left\}\right\}\end{array}}$

Det eine kvadratet har sidelengd $6 \mathrm{cm}$ og det andre $8 \mathrm{cm}$. Dei to løysingane gjev i praksis det same resultatet.

Vi kaller dei to tala høvesvis $x$ og $y$. Vi set opp to likningar.

$\left[\begin{array}{rcl}x+y& =& 169\\ & & \\ x^2+y^2& =& 14 893\end{array}\right]$

Løyser likningssettet i GeoGebra, der vi viser korleis vi kan løyse likningssettet ved å skrive kommandoen "Løys" i staden for å skrive inn likningane på kvar si linje slik som i den førre oppgåva:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Løys}\left(\{\mathrm{x}+\mathrm{y}=169, {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=14893\}, \{\mathrm{x},\mathrm{y}\}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \to \left\{\right\{\mathrm{x}=67 ,\mathrm{y}=102\left\}\right\{\mathrm{x}=102, \mathrm{y}=67\left\}\right\}\end{array}}$

Det eine talet er 102 og det andre 67.

Vi kallar de to tallene høvesvis $x$ og $y$ . Vi set opp to likningar.

$\left[\begin{array}{rcl}x-y& =& 3\\ & & \\ x^2-y^2& =& 57\end{array}\right]$

$\begin{array}{rcl}x& = & 3+y\\ & & \\ {\left(3+y\right)}^2-y^2& =& 57\\ & & \\ 9+6y+y^2-y^2& =& 57\\ & & \\ 6y& =& 57-9\\ & & \\ 6y& =& 48\\ & & \\ y& =& 8\\ & & \\ x& =& 3+8=11\end{array}$

Det eine talet er 8 og det andre 11.

Vi kallar de to tala høvesvis $x$ og $y$. Vi set opp to likningar.

$\begin{array}{rcl}& & \left[\begin{array}{ccc}\frac{x}{y}& =& 3\\ & & \\ xy& =& 27\end{array}\right]\\ & & \\ x& = & 3y\\ & & \\ 3y·y& =& 27\\ & & \\ y^2& =& 9\\ & & \\ y& =& 3 \vee y=-3\\ & & \\ x& =& 3·3=9 \vee x=3·\left(-3\right)=-9\end{array}$

De to tala er anten 3 og 9 eller –3 og –9.