Drøfting av polynomfunksjonar

Den deriverte funksjonen, $f^{\text{'}}$, har som einaste nullpunkt $x=-3$.

For $x<-3$ er $f^{\text{'}}$ positiv, som betyr at grafen til f stig. For $x>-3$ er $f^{\text{'}}$ negativ, som betyr at grafen til f søkk. Det betyr at funksjonen har eit toppunkt for $x=-3$. Grafen har ingen andre ekstremalpunkt.

Vi finn stasjonære punkt der den deriverte er lik 0. Vi ser at den deriverte er 0 i punktet $\left(-1,0\right)$ og i $\left(3,0\right)$.

Vi observerer at den deriverte er negativ på begge sider av det første nullpunktet. Det betyr at g har eit terrassepunkt i dette punktet.

I det andre punktet går den deriverte frå å vere negativ til å bli positiv. Det betyr at vi har eit botnpunkt for g i dette punktet.

Vi set $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}2x-2 & =& 0\\ 2x & =& 2\\ x & =& 1\end{array}$

Vi veit då at det berre er for $x=1$ at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige tal i kvart av dei aktuelle intervalla $⟨\leftarrow , 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

$f^{\text{'}}\left(0\right)=2·0-2=-2<0$

$f^{\text{'}}\left(2\right)=2·2-2=2>0$

Vi kan då setje opp forteiknslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Vi ser av forteiknslinja at

• grafen til f søkk når $x<1$
• grafen til f stig når $x>1$
• grafen til f har botnpunkt når $x=1$

Vi deriverer funksjonen.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^{3-1}-3·2x^{2-1}-9·x^{1-1}+0=3x^2-6x-9$

Vi faktoriserer den deriverte.

$3x^2-6x-9 =3\left(x^2-2x-3\right)=3(x-3)(x+1)$

Her har vi brukt stiremetoden $\left(\left(-3\right)·1=-3 \mathrm{og} (-3)+1=-2\right)$.

Det betyr at $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ når $x=-1 \vee x=3$.

Vi veit då at det berre er i punkta $\left(-1, f\left(1\right)\right)$ og $\left(3, f\left(3\right)\right)$ at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige tal i kvart av dei aktuelle intervalla $⟨\leftarrow , -1⟩, ⟨-1, 3⟩$ og $⟨3, \to ⟩$ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-2\right) & =& 3{\left(-2\right)}^2-6\left(-2\right)-9=3·4+12-9=15>0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(0\right) & =& 3{\left(0\right)}^2-6·0-9=-9<0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(4\right) & =& 3{\left(4\right)}^2-6·4-9=3·16-24-9=16>0\end{array}$

Vi kan då setje opp forteiknslinja for $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Vi ser av forteiknslinja at

• grafen til $f\left(x\right)$ stig når $x<-1$, og når $x>3$
• grafen til $f\left(x\right)$ søkk når $-1<x<3$
• grafen til $f\left(x\right)$ har toppunkt når $x=-1$, toppunktet er $\left(-1, f\left(-1\right)\right)=\left(-1, 15\right)$ fordi
  
  $\begin{array}{rcl}f\left(-1\right) & =& {\left(-1\right)}^3-3{\left(-1\right)}^2-9·\left(-1\right)+10\\ & =& -1-3+9+10\\ & =& 15\end{array}$
• grafen til $f\left(x\right)$ har botnpunkt når $x=3$, botnpunktet er $\left(3, f\left(3\right)\right)=\left(3, -17\right)$ fordi
  
  $\begin{array}{rcl}f\left(3\right) & =& {\left(3\right)}^3-3{\left(3\right)}^2-9·3+10\\ & =& 27-27-27+10\\ & =& -17\end{array}$

Nedanfor har vi teikna ei skisse av grafen til f saman med forteiknslinja for den deriverte (her har vi teikna den reelle grafen).

Vi ser av grafen til den deriverte funksjonen at

• $f\left(x\right)$ stig når $x<0$, og når $x>2$
• $f\left(x\right)$ søkk når $0<x<2$
• $f\left(x\right)$ har eit toppunkt for $x=0$
• $f\left(x\right)$ har eit botnpunkt for $x=2$

Nedanfor har vi teikna grafen til ein funksjon som oppfyller krava i oppgåva.

Vi deriverer funksjonen.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3}·3x^2+\frac{3}{2}·2x=x^2+3x$

Vi set $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}{x}^2+3x & =& 0\\ x\left(x+3\right) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x=-3\end{array}$

Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla $\langle \leftarrow , -3\rangle , ⟨-3, 0⟩$ og $⟨0, \to ⟩$ for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-4\right) & =& {\left(-4\right)}^2+3\left(-4\right)=4 > 0\\ f^{\text{'}}\left(-2\right) & =& {\left(-2\right)}^2+3\left(-2\right)=-2 <0\\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& {\left(1\right)}^2+3\left(1\right)=4 >0\\ & & \end{array}$

Det betyr at

• grafen til f stig i intervalla $⟨\leftarrow , -3⟩$ og $⟨0, \to ⟩$

• grafen til f søkk i intervallet $⟨-3, 0⟩$

Vi reknar ut toppunktet til $f\left(x\right)$:

$\begin{array}{rcl}\left(-3, f\left(-3\right)\right) & =& \left(-3, \frac{1}{3}{\left(-3\right)}^3+\frac{3}{2}{\left(-3\right)}^2-\frac{9}{2}\right)\\ & =& \left(-3, -\frac{18}{2}+\frac{27}{2}-\frac{9}{2}\right)\\ & =& \left(-3, 0\right)\end{array}$

Vi reknar ut botnpunktet til $f\left(x\right)$:

$\left(0, f\left(0\right)\right)=\left(0, \frac{1}{3}{\left(0\right)}^3+\frac{3}{2}{\left(0\right)}^2-\frac{9}{2}\right)=\left(0, -\frac{9}{2}\right)$

Vi har at $x=-3$ er eitt nullpunkt. Vi kan då utføre polynomdivisjonen.

$\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc}& & & \frac{1}{3}& x^3& +& \frac{3}{2}& x^2& & & -& \frac{9}{2}& :& & (& x& +& 3& )& =& \frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}& & & & & \\ & -& (& \frac{1}{3}& x^3& +& x^2& )& & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & \frac{1}{2}& x^2& & & -& \frac{9}{2}& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & -& (& \frac{1}{2}& x^2& +& \frac{3}{2}x& )& & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & -& \frac{3}{2}x& -& \frac{9}{2}& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & -& (& -& \frac{3}{2}x& -& \frac{9}{2})& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & & & & & & \end{array}$

Vi set så $\frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$ og finn eventuelle nye nullpunkt:

$\begin{array}{rcl}x & =& \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}+4·{\displaystyle \frac{1}{3}}·{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{2·{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{8}{4}}}}{2·{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{3}{2}}\right)·3·2}{{\displaystyle \frac{2}{3}·3·2}}=\frac{-3\pm 9}{{\displaystyle 4}}\\ x & =& \frac{3}{2} \vee x=-3\end{array}$

Vi legg merke til at den eine løysinga på likninga er lik den x-verdien vi allereie visste at var eit nullpunkt. Grafen har dermed berre to nullpunkt.

Under ser du ei skisse av grafen basert på nullpunkta og topp- og botnpunkta vi har funne.

Vi fann at det eine ekstremalpunktet til funksjonen òg var eit nullpunkt, noko som inneber at tredjegradsfunksjonen berre kryssar x-aksen i eitt punkt i tillegg til dette toppunktet. Eit punkt som er både nullpunkt og ekstremalpunkt er det vi kallar for eit dobbelt nullpunkt.

I polynomfunksjonar av høgare grad kan vi få nullpunkt som er tredoble, firedoble og så vidare. Ved rekning viser det seg i kor mange gonger den same løysinga dukkar opp. Slike punkt er ikkje nødvendigvis ekstremalpunkt!

Vi har generelt frå nullpunktsmetoden for faktorisering at

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$

der $x_1,x_2,x_3$ er nullpunkta til funksjonen. Dette gir oss følgande faktorisering:

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{9}{2} & =& \frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-3\right)\right)\left(x-\left(-3\right)\right)\\ & =& \frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+3\right)\left(x+3\right)\end{array}$

Frå linje 2 får vi at funksjonen har nullpunkta $x=1$ og $x=3$.

Sidan koeffisienten framfor andregradsleddet er negativt, veit vi at andregradsfunksjonen har eit toppunkt, og frå linje 4 får vi at toppunktet har koordinatane $\left(2,1\right)$.

Grafen til funksjonen stig når $x<2$, og søkk når $x>2$.

Frå linje 2 får vi at funksjonen har nullpunkta $x=-1$ og $x=3$.

Sidan koeffisienten framfor andregradsleddet er positivt, veit vi at andregradsfunksjonen har eit botnpunkt, og frå linje 4 får vi at punktet har koordinatane $\left(2,1\right)$.

Grafen til funksjonen søkk når $x<1$, og stig når $x>1$.

Frå linje 2 får vi at funksjonen har nullpunkta $x=-2,08, x=0,46$ og $x=3,12$.

Frå linje 4 får vi at grafen til funksjonen stig når $x<-1$ og $x>2$, og søkk når $-1<x<2$. Grafen til funksjonen har derfor eit toppunkt for $x=-1$ og eit botnpunkt for $x=2$.

I linje 5 har vi rekna ut funksjonsverdiane til dei to ekstremalpunkta. Toppunktet har koordinatane $\left(-1,\frac{13}{6}\right)$, og bunnpunktet har koordinatane $\left(2,-\frac{7}{3}\right)$.

Frå linje 2 får vi at funksjonen har nullpunktet $x=1$.

Frå linje 4 får vi at grafen til funksjonen stig når $x<2$ og $x>2$. Grafen søkk ikkje nokon stader. Det stasjonære punktet $\left(2,1\right)$ er derfor eit terrassepunkt.

Vi må løyse likninga $g\left(-\frac{1}{2}\right)=0$.

For hand får vi

$\begin{array}{rcl}2{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+3b·\left(-\frac{1}{2}\right)-2 & =& 0\\ 2·\frac{1}{4}-\frac{3}{2}b+1 & =& 0\\ -\frac{3}{2}b & =& \frac{3}{2}\\ b & =& -1\end{array}$

Løysing med CAS:

Den deriverte funksjonen må vere null når $x=\frac{1}{2}$. Vi må derfor løyse likninga $g^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)=0$.

For hand får vi

$\begin{array}{rcl}{g}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2·2x+3b=4x+3b\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right) & =& 0\\ 4·\frac{1}{2}+3b & =& 0\\ 3b & =& -2\\ b & =& -\frac{2}{3}\end{array}$

Løysing med CAS:

Vi finn dei stasjonære punkta til funksjonen med CAS.

Vi får at grafen generelt har to stasjonære punkt, som må vere eit toppunkt og eit botnpunkt sidan grafen kjem frå minus uendeleg og går til uendeleg. Grafen til ein tredjegradfunksjon kan ikkje ha ekstremalpunkt i tillegg til eit terrassepunkt. Vi må derfor finne dei verdiane av a som gjer at det berre er éi løysing i linje 2. Det får vi til dersom rotuttrykket er null, for då gir begge uttrykka løysinga $x=-a$. I linje 3 får vi derfor at grafen til f har eit terrassepunkt når

$a=-3 \vee a=3$

Vanlegvis skriv vi ein generell andregradsfunksjon som

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Vi bruker reknereglane for derivasjon:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=2ax+b$

Her viser vi eit forslag der vi hentar inn informasjon om funksjonen frå brukaren og skriv ut funksjonen og den deriverte.

Vi må hente inn dei tre variablane a, b og c og lage ei utskrift av både sjølve funksjonen og den deriverte.

1a = float(input("Kva er a i andregradsfunksjonen din?"))
2b = float(input("Kva er b i andregradsfunksjonen din?"))
3c = float(input("Kva er c i andregradsfunksjonen din?"))
4
5print(f'Funksjonen er gitt ved f(x) = {a}x^2 + {b}x + {c}.')
6print(f'Den deriverte er gitt ved f´(x) = {2*a}x + {b}.')

Her held vi fram med programmet frå c).

1def f(x):
2    return a*x**2 + b*x + c
3
4#vi finn nullpunkta ved å lage ei lykkje og gå gjennom funksjonen
5
6if b**2 - 4*a*c >= 0:                 #vi tek atterhald om at funksjonen faktisk har nullpunkt
7    x = -5                            #vel eit startpunkt for leiting etter nullpunkt
8    while x < 5:                      #set i gang ei lykkje og vel eit sluttpunkt for leiting
9        if abs(f(x)) < 0.001:         #vel å samanlikne med eit tal nær null fordi datamaskiner bruker totalssystemet
10            
11            print(f'Funksjonen har eit nullpunkt for x = {x:.1f}.')
12        x = x + 0.01 
13else:
14    print("Funksjonen har ingen nullpunkt.")
15
16print(f'Grafen til f skjer andreaksen i punktet (0,{c}).')

Dersom du har gløymt korleis du teiknar grafar i Python, finn du det på teorisida "Funksjonar med digitale hjelpemiddel".

Ein tredjegradsfunksjon har alltid minst eitt nullpunkt, i motsetning til ein andregradsfunksjon som kan ha ingen.

Ein tredjegradsfunksjon har ikkje nødvendigvis nokon stasjonære punkt fordi den deriverte ikkje alltid har nullpunkt. Dersom han har stasjonære punkt, kan han ha inntil to. Dermed må vi òg passe på at vi finn begge to dersom han har det.

Forslag til program:

1def f(x):
2    return (3*x -2)/(2*x + 5)
3
4x = -5                            
5while abs(f(x)) > 0.01:           
6    x = x + 0.001
7
8print(f'Funksjonen har eit nullpunkt for x = {x:.1f}.')
9
10print(f'Funksjonen skjer andreaksen i punktet (0, {f(0):.1f}).')
11
12print(f'Den horisontale asymptoten finn vi på y = {f(1000000):.1f}.')
13
14x = -5                            
15while abs(2*x + 5) > 0.01:           
16    x = x + 0.001
17print(f'Den vertikale asymptoten finn vi på x = {x:.1f}.')