Definisjonen av den deriverte

Vi nyttar same prinsipp som vi brukte for å finne ein tilnærma verdi for den momentane vekstfarten.

Vi tar utgangspunkt i ein tilfeldig funksjon $f$.
Vi teiknar grafen av funksjonen, vel ein tilfeldig $x$-verdi og får eit punkt på grafen $A\left(x, f\left(x\right)\right)$.

Vi ønskjer å finne vekstfarten til funksjonen for akkurat denne $x$ -verdien.

Vi gir $x$ eit tillegg $\Delta x$ og får eit nytt punkt på grafen, $B\left(x+\Delta x, f\left(x+\Delta x\right)\right)$.

Vi trekkjer ein sekant (grøn linje) gjennom punkta A og B.

Vi reknar ut stigingstalet til denne linja:

$a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\left(x+\Delta x\right)-x}=\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$

Vi har då funne eit uttrykk for gjennomsnittleg vekstfart frå A til B.

Vi lèt no punktet B nærme seg punktet A. Vi lèt altså $\Delta x$ gå mot null.

Då vil sekanten (grøn) gradvis nærme seg til å bli ein tangent (raud linje) til kurva i A.

Stigingstalet (brattleiken) til denne tangenten fortel kor fort kurva veks akkurat her. Vi kallar dette stigingstalet for den momentane veksten i punktet $\left(x, f\left(x\right)\right)$ eller den deriverte av $f$ i punktet. Vi skriv $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ og les « $f$ derivert av $x$».

Definisjonen av den deriverte er ein lokal definisjon. Han seier noko om verdien av den deriverte i eit punkt, nemleg punktet med førstekoordinaten $x$. Dersom vi no ser på alle verdiar av $x$ i definisjonsområdet til $f$, får vi ein ny funksjon, den deriverte funksjonen $f^{\text{'}}$ som til kvar verdi av $x$ har $y$-verdien $f^{\text{'}}\left(x\right)$. Det er denne funksjonen vi kallar den deriverte funksjonen.
Derivere tyder "å utleie eller avleie" og $f^{\text{'}}$ er ein ny funksjon som vi har utleidd frå $f$ .

Den momentane vekstfarten eller den deriverte av $f\left(x\right)=x^2+2$ når til dømes
$x=0,5$, er altså det same som stigingstalet for tangenten til kurva når $x=0,5$.

Vi kan finne ein verdi for denne vekstfarten grafisk ved å teikne grafen av $f$ og tangenten til $f$ når $x=0,5$.

Vi ser at tangenten har stigingstalet $1$. Den momentane vekstfarten er altså lik $1$ når
$x=0,5$.
Den deriverte av f(x) når $x=0,5$ er $1$. Vi skriv

$f^{\text{'}}\left(0,5\right)=1$.

Vi vil no rekne oss fram til den deriverte av $f\left(x\right)=x^2+2$ når $x=0,5$.

Vi hugsar definisjonen på den deriverte

$f^{\text{'}}\left(x\right)$ er den verdien som $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$ nærmar seg mot når $\Delta x$ går mot null.

Korleis finn vi så $f\left(x+\Delta x\right)$?
$f\left(x+\Delta x\right)$ er det uttrykket du får når du byter ut $x$ med $x+\Delta x$ i funksjonsuttrykket.

Det gir

$\begin{array}{lcl}\frac{\Delta y}{\Delta x}& =& \frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}\\ & & \\ & =& \frac{{\left(x+\Delta x\right)}^2+2-\left(x^2+2\right)}{\Delta x}\\ & & \\ & =& \frac{x^2+2·x·\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2+2-x^2-2}{\Delta x}\\ & & \\ & =& \frac{2·x·\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2}{\Delta x}\\ & & \\ & =& \frac{\cancel{\Delta x}·\left(2x+\Delta x\right)}{\cancel{\Delta x}}\\ & & \\ & =& 2x+\Delta x\\ & & \\ & & \end{array}$

(Hugs at $∆x$ er éin variabel.)

Når $\mathrm{\Delta x}$ blir meir og meir lik null, så må jo $2x+\mathrm{\Delta x}$ bli meir og meir lik $2x$ . Derfor nærmar $2x+\mathrm{\Delta x}$ seg $2x$ når $\mathrm{\Delta x}$ går mot null.

Vi har no funne at når $f\left(x\right)=x^2+2$, så er $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x$.

Då kan vi rekne ut $f^{\text{'}}\left(0,5\right)=2·0,5=1$.

Den deriverte funksjonen av $f$ ,$f^{\text{'}}\left(x\right)=2x$, er ein ny funksjon og er definert for alle verdiar av $x$ i definisjonsområdet til $f$.

Vi kan bruke denne funksjonen til å finne den momentane vekstfarten for alle verdiar av $x$ i definisjonsområdet til $f$ .

Til dømes er $f^{\text{'}}\left(4\right)=2·4=8$. Den momentane vekstfarten når $x=4$ er lik 8.