Oppgåve

Vektorproduktet. Høgrehandsregelen

Her får du øvd på å bruke vektorproduktet og høgrehandsregelen ved hjelp av definisjonen på vektorproduktet. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Figurane viser vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ . Avklar for kvart tilfelle om det er mogleg at $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ .

a) På figuren tenker vi oss at $\vec{a}$ og $\vec{b}$ peiker på skrå bort frå oss.

Illustrasjon av vektorane a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle startar i det same punktet. a-vektor peiker på skrå opp til venstre, b-vektor peiker på skrå opp til høgre, og c-vektor peiker nedover. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikkje 90 gradar. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 gradar.

Løysing

Sidan vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ følger høgrehandsregelen, kan vi ha at $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ .

b) På figuren tenker vi oss at $\vec{a}$ og $\vec{b}$ peiker på skrå bort frå oss.

Illustrasjon av vektorane a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle startar i det same punktet. a-vektor peiker på skrå opp til høgre, b-vektor peiker på skrå opp til venstre, og c-vektor peiker nedover. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikkje 90 gradar. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 gradar.

Løysing

$\vec{c}$ kan ikkje vere kryssproduktet av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ sidan vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ ikkje følger høgrehandsregelen. Då måtte i tilfelle $\vec{c}$ ha peikt oppover på figuren i staden for nedover.

c) På figuren tenker vi oss at $\vec{a}$ og $\vec{c}$ peiker på skrå bort frå oss.

Illustrasjon av vektorane a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle startar i det same punktet. a-vektor peiker på skrå opp til høgre, b-vektor peiker rett ned, og c-vektor peiker på skrå opp til venstre. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor er ikkje 90 gradar. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 gradar.

Løysing

$\vec{c}$ kan ikkje vere kryssproduktet av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ fordi $\vec{c}$ ikkje står normalt på $\vec{a}$ .

d) På figuren tenker vi oss at $\vec{b}$ og $\vec{c}$ peiker på skrå bort frå oss.

Illustrasjon av vektorane a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle startar i det same punktet. c-vektor peiker på skrå opp til høgre, b-vektor peiker på skrå opp til venstre, og a-vektor peiker på skrå nedover mot høgre. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikkje 90 gradar. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 gradar.

Løysing

Sidan vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ følger høgrehandsregelen, kan vi ha at $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ .

e) På figuren tenker vi oss at $\vec{b}$ og $\vec{c}$ peiker på skrå bort frå oss.

Illustrasjon av vektorane a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle startar i det same punktet. b-vektor peiker på skrå opp til høgre, c-vektor peiker på skrå opp til venstre, og a-vektor peiker på skrå nedover mot høgre. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikkje 90 gradar. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 gradar.

Løysing

f) Studer 3D-grafikkfeltet til GeoGebra. Utgjer koordinataksane eit høgrehandssystem?

Løysing

Illustrasjon av eit tredimensjonalt koordinatsystem som er teikna med GeoGebra for x-verdiar mellom minus 3 og 7, y-verdiar mellom minus 4 og 5 og z-verdiar mellom minus 2 og 4. — 3D-grafikkfeltet til GeoGebra

Før vi kan svare på dette, må vi setje opp ei rekkefølge på koordinataksane. Den naturlege rekkefølga er den alfabetiske, altså $x$ - $y$ - $z$ . I denne rekkefølga følger koordinataksane høgrehandsregelen.

Oppgåve 2

Illustrasjon av vektorane a-vektor, b-vektor og c-vektor, som alle startar i det same punktet. c-vektor er lik vektorproduktet av a-vektor og b-vektor. a-vektor peiker på skrå opp til venstre, b-vektor peiker på skrå opp til høgre, og c-vektor peiker nedover. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikkje 90 gradar. Vinkelen mellom a-vektor og c-vektor og mellom b-vektor og c-vektor er begge 90 gradar.

På figuren er $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ .

a) Kva får vi dersom vi tek $\vec{b} \times \vec{a}$ ?

Løysing

Både for $\vec{a} \times \vec{b}$ og $\vec{b} \times \vec{a}$ gjeld at resultatet er lik $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ$ . Så vektoren $\vec{b} \times \vec{a}$ må vere like lang som $\vec{c}$ . Når $\vec{a}$ og $\vec{b}$ byter plass, gir høgrehandsregelen at kryssproduktet må vere ein vektor i motsett retning av $\vec{c}$ . Det betyr at

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \Leftrightarrow \vec{b} \times \vec{a} = - \vec{c}$

b) Kva får vi dersom vi tek $- \vec{a} \times \vec{b}$ ?

Løysing

$- \vec{a}$ vil gå nedover mot høgre på figuren, det vil seie i motsett retning av $\vec{a}$ . Då vil høgrehandsregelen gi ein vektor som peiker i motsett retning av $\vec{c}$ . Lengda av $- \vec{a} \times \vec{b}$ blir

$|- \vec{a} \times \vec{b}| = |- \vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin (180 ° - θ) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ = |\vec{c}|$

Det betyr at

$- \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{c}$

c) Kva får vi dersom vi tek $\vec{a} \times \vec{a}$ ?

Løysing

Vi ser på lengda av $\vec{a} \times \vec{a}$ .

$|\vec{a} \times \vec{a}| = |a| \cdot |a| \cdot \sin 0 ° = 0$

Ein vektor med lengde lik 0 kallar vi nullvektoren, eller $\vec{0}$ . Ein vektor kryssmultiplisert med seg sjølv gir derfor nullvektoren som resultat. Vi får

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0} = [0, 0, 0]$

d) Kva blir resultatet av $\vec{u} \times \vec{v}$ dersom $\vec{u} ∥ \vec{v}$ ?

Løysing

Dersom $\vec{u} ∥ \vec{v}$ , får vi

$|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin 0 ° = 0$

Det betyr at

$\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} = [0, 0, 0]$

Oppgåve 3

a) Finn $\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}}$ ved å bruke definisjonen på vektorproduktet.

Løysing

Vi har frå oppgåve 4.1.30 f) at koordinataksane følger høgrehandsregelen. Det betyr at vektoren som er resultatet av $\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}}$ , må peike i positiv $z$ -retning sidan han skal stå normalt på både $\vec{e_{x}}$ og $\vec{e_{y}}$ . Så ser vi på lengda av vektoren:

$|\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}}| = |\vec{e_{x}}| \cdot |\vec{e_{y}}| \cdot \sin (∠ (\vec{e_{x}}, \vec{e_{y}})) = 1 \cdot 1 \cdot \sin 90 ° = 1$

Vektoren med lengde 1 og retning i positiv $z$ -retning er $\vec{e_{z}}$ . Vi får derfor at

$\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}} = \vec{e_{z}}$

b) Finn på tilsvarande måte $\vec{e_{y}} \times \vec{e_{z}}$ .

Løysing

Sidan koordinataksane følger høgrehandsregelen i rekkefølga $x$ - $y$ - $z$ , vil dei òg gjere det i rekkefølga $y$ - $z$ - $x$ . Ved å la peikefingeren peike i positiv $y$ -retning og langfingeren i positiv $z$ -retning vil tommelfingeren peike i positiv $x$ -retning. Ved å følge tilsvarande resonnement som i a) får vi at

$\vec{e_{y}} \times \vec{e_{z}} = \vec{e_{x}}$

c) Finn på tilsvarande måte $\vec{e_{y}} \times \vec{e_{y}}$ .

Løysing

I oppgåve 4.1.31 c) såg vi at ein vektor kryssmultiplisert med seg sjølv gir nullvektoren som svar. Då får vi

$\vec{e_{y}} \times \vec{e_{y}} = \vec{0}$

d) Skriv opp eit vektorprodukt mellom to av einingsvektorane slik at resultatet blir $\vec{e_{y}}$ .

Løysing

Vi treng riktig rekkefølge på koordinataksane når rekkefølga skal slutte på $y$ . Det må bli $z$ - $x$ - $y$ . Det betyr at

$\vec{e_{y}} = \vec{e_{z}} \times \vec{e_{x}}$

e) Skriv opp eit vektorprodukt mellom to av einingsvektorane slik at resultatet blir $- \vec{e_{x}}$ .

Løysing

Vi har frå oppgåve b) at $\vec{e_{x}} = \vec{e_{y}} \times \vec{e_{z}}$ . I oppgåve 4.1.21 a) såg vi at

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \Leftrightarrow \vec{b} \times \vec{a} = - \vec{c}$

Det betyr når vi byter om på vektorane som blir kryssmultiplisert, får vi den same vektoren, men motsett retta. Då får vi

$- \vec{e_{x}} = \vec{e_{z}} \times \vec{e_{y}}$

Oppgåve 4

Kvifor har vektorproduktet i utgangspunktet inga meining i eit todimensjonalt koordinatsystem?

Forklaring

I ei todimensjonal verd kan vi ikkje tenke oss ein vektor som står normalt på to vektorar som ikkje er parallelle, for då må vi bevege oss ut i den tredje dimensjonen.

Oppgåve 5

Vi har gitt vektorane $\vec{a} = [1, 2, 3]$ og $\vec{b} = [- 2, 1, - 3]$ . Bruk definisjonen av vektorproduktet og finn koordinatane til $\vec{a} \times \vec{b}$ . Prøv å løyse oppgåva utan hjelpemiddel først. Kontroller svaret med CAS etterpå.

Løysing

Løysing utan hjelpemiddel

Vi byrjar med å finne lengda $\vec{a} \times \vec{b}$ .

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ$

der $θ$ er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

$|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

Vi kan bruke skalarproduktet av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ til først å finne $\cos θ$ for deretter å finne $\sin θ$ ved hjelp av einingsformelen.

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos θ \\ \cos θ & = & \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \\ = & \frac{[1, 2, 3] \cdot [- 2, 1, - 3]}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \\ = & \frac{- 2 + 2 - 9}{14} \\ = & - \frac{9}{14} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \cos^{2} θ + \sin^{2} θ & = & 1 \\ \sin θ & = & \sqrt{1 - \cos^{2} θ} \\ = & \sqrt{1 - {(- \frac{9}{14})}^{2}} \\ = & \sqrt{1 - \frac{81}{196}} \\ = & \sqrt{\frac{196 - 81}{196}} \\ = & \frac{1}{14} \sqrt{115} \end{array}$

Kommentar: Einingsformelen gir òg at $\sin θ = - \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$ , men sidan vinkelen mellom to vektorar ikkje kan vere større enn 180°, treng vi ikkje denne løysinga. Vi får

$\begin{array}{rcl} |\vec{a} \times \vec{b}| & = & |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ \\ = & \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} \cdot \frac{1}{14} \sqrt{115} \\ = & \sqrt{115} \end{array}$

No set vi $\vec{a} \times \vec{b} = [x, y, z]$ . Vi har tre ukjende vi skal finne, og vi treng tre likningar. Vi kan setje opp desse krava:

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) & = & 0 \\ [1, 2, 3] \cdot [x, y, z] & = & 0 \\ x + 2 y + 3 z & = & 0 \end{array}$
$\begin{array}{rcl} \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) & = & 0 \\ [- 2, 1, - 3] \cdot [x, y, z] & = & 0 \\ - 2 x + y - 3 z & = & 0 \end{array}$
$\begin{array}{rcl} |\vec{a} \times \vec{b}| & = & \sqrt{115} \\ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} & = & \sqrt{115} \end{array}$

Vi kan starte med å legge saman dei to første likningane for å eliminere $z$ . Då får vi

$\begin{array}{rcl} x + 2 y + 3 z - 2 x + y - 3 z & = & 0 \\ - x + 3 y & = & 0 \\ x & = & 3 y \end{array}$

Vi set resultatet inn i likning 1.

$\begin{array}{rcl} 3 y + 2 y + 3 z & = & 0 \\ 3 z & = & - 5 y \\ z & = & - \frac{5}{3} y \end{array}$

Vi set desse to resultata inn i likning 3.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} & = & \sqrt{115} \\ \sqrt{{(3 y)}^{2} + y^{2} + {(- \frac{5}{3} y)}^{2}} & = & \sqrt{115} \\ 10 y^{2} + \frac{25}{9} y^{2} & = & 115 \\ 2 y^{2} + \frac{5}{9} y^{2} & = & 23 \\ 18 y^{2} + 5 y^{2} & = & 207 \\ 23 y^{2} & = & 207 \\ y^{2} & = & 9 \\ y & = & \pm 3 \end{array}$

Det er berre den eine løysinga som kan vere rett. For å finne kva for ei av desse løysingane som er rett, kan vi sjå på i kva del av koordinatsystemet $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ligg i. Vi lagar ei rask skisse som viser omtrent kvar dei to vektorane ligg.

Illustrasjon av eit tredimensjonalt koordinatsystem. Vektor a peiker på skrå oppover til høgre, vektor b peiker nedover på skrå til venstre og frå oss.

$\vec{a}$ ligg i den delen av koordinatsystemet der alle koordinatane er positive. $\vec{b}$ ligg i den delen med negativ $x$ - og $z$ -koordinat og positiv $y$ -koordinat.

Ut ifrå biletet gir høgrehandsregelen at $\vec{a} \times \vec{b}$ må peike til venstre i biletet og ha negativ $x$ -koordinat. Sidan $x = 3 y$ , har $x$ og $y$ same forteikn. Derfor slår vi fast at

$y = - 3$

Då får vi vidare at

$z = - \frac{5}{3} y = - \frac{5}{3} \cdot (- 3) = 5$

$x = 3 y = 3 \cdot (- 3) = - 9$

Vi får til slutt at

$\vec{a} \times \vec{b} = [- 9, - 3, 5]$

Løysing med CAS

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 og 2 er vektorane a og b frå oppgåva skrivne inn. På linje 3 er vektoren a x b definert med koordinatane x, y og z. På linje 4 er cos theta definert som a b delt på Lengde a og delt på Lengde b. Svaret er cos theta kolon er lik minus 9 fjortendelar. På linje 5 er sin theta definert som rota av parentes 1 minus cos theta i andre parentes slutt. Svaret er sin theta kolon er lik ein fjortendels rot 115. På linje 6 er likninga Lengde a x b er lik Lengde a multiplisert med Lengde b multiplisert med sin theta skriven inn. Svaret er rota av parentes x i andre pluss y i andre pluss z i andre parentes slutt er lik rot 115. På linje 7 er likninga a multiplisert med a x b er lik 0 skriven inn. Svaret er x pluss 2 y pluss 3 z er lik 0. På linje 8 er likninga b multiplisert med a x b er lik 0 skriven inn. Svaret er minus 2 x pluss y minus 3 z er lik 0. På linje 9 det skrive sløyfeparentes dollarteikn 6 komma, dollarteikn 7 komma, dollarteikn 8 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løys er x er lik 9, y er lik 3, z er lik minus 5 eller x er lik minus 9, y er lik minus 3, z er lik 5.

Som ved løysing utan hjelpemiddel må vi inn med ei skisse og prøve å bestemme kva for ei av løysingane som er rett, det vil seie kva for ei av løysingane som gjer at $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ følger høgrehandsregelen. Med same resonnementet får vi den same løysinga:

$\vec{a} \times \vec{b} = [- 9, - 3, 5]$

Sluttkommentar: Dette er ein veldig tungvint måte å finne koordinatane til $\vec{a} \times \vec{b}$ på. På teorisida "Vektorproduktet. Koordinatformel" kan du lære ein mykje raskare metode.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Vektorar i rommet

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Oppgåve 5

Løysing utan hjelpemiddel

Løysing med CAS

Nedlastbare filer