Fagstoff

Vektorar i tre dimensjonar

Ei utviding frå to til tre dimensjonar gjer ikkje den grunnleggande vektorrekninga vanskelegare, men gir nokre fleire moglegheiter.

Dei fleste reknereglane for vektorar er like uansett om vektorane er i to eller tre dimensjonar. Sjå gjerne på vektorkapittelet i matematikk R1 dersom du treng repetisjon før du set i gang.

Vektoren mellom to punkt

I to dimensjonar

Hugsar du korleis ein finn koordinatane til vektoren mellom to punkt, til dømes punkta $A (2, 4)$ og $B (7, 1)$ ? Finn koordinatane til $\vec{A B}$ , og sjekk med framgangsmåten nedanfor.

Utrekning av vektorkoordinatar i to dimensjonar

Vi tek koordinatane til $B$ og trekker frå koordinatane til $A$ .

$\vec{A B} = [7 - 2, 1 - 4] = [5, - 3]$

Koordinatsystem frå 2D-grafikkfeltet i GeoGebra. Punktet A med koordinatane 2 og 4 og punktet B med koordinatane 7 og 1 er teikna inn. Vektoren frå A til B er også teikna inn. Illustrasjon.

Det betyr at for å komme frå $A$ til $B$ , må vi gå 5 einingar i positiv $x$ -retning og 3 einingar i negativ $y$ -retning. Du kan lese meir om dette i faget R1 på teorisida "Posisjonsvektor og vektor mellom punkt" dersom du vil.

I tre dimensjonar

Vi tenker på same måte når vi skal finne vektoren mellom to punkt i tre dimensjonar. Prøv å finne koordinatane til $\vec{A B}$ når punkta er $A (4, 2, 1)$ og $B (- 1, 4, 3)$ .

Koordinatane til vektoren mellom A og B i tre dimensjonar

Vi tek koordinatane til $B$ og trekker frå koordinatane til $A$ som for vektorar i to dimensjonar.

$\vec{A B} = [- 1 - 4, 4 - 2, 3 - 1] = [- 5, 2, 2]$

Teikning av vektorar i tre dimensjonar

Bruk GeoGebra. Teikn punkta $A$ og $B$ frå det førre avsnittet. Teikn $\vec{A B}$ ved å bruke kommandoen Vektor(A,B) i algebrafeltet.

Teikning av vektorar i 3D-grafikkfeltet

Vi skriv først inn punkta i algebrafeltet før vi bruker vektorkommandoen. Resultatet kan sjå slik ut, her har vi skrive inn namnet på vektoren og koordinatane manuelt i koordinatsystemet:

Punktet A med koordinatane 4, 2 og 1 og punktet B med koordinatane minus 1, 4 og 3 er teikna i eit tredimensjonalt koordinatsystem. Vektoren mellom A og B er teikna inn og har koordinatane minus 5, 2 og 2. Illustrasjon. — Døme på vektor i tre dimensjonar

Roter på koordinatsystemet ditt for å sjå korleis vektoren ser ut frå fleire kantar.

Posisjonsvektoren

Prøv kommandoen v=(-5,2,2) og kommandoen P=(-5,2,2) i algebrafeltet. Kva får du?

Punkt og vektor i GeoGebra

Den første kommandoen lagar den same vektoren som $\vec{A B}$ , men no teikna ut frå origo. Vektorpila endar i punktet $P$ . Dersom vi kallar origo for $O$ , vil vektoren vi har teikna, kallast $\vec{O P}$ og vere posisjonsvektoren til punktet $P$ .

Tredimensjonalt koordinatsystem. Punktet A med koordinatane 4, 2 og 1, punktet B med koordinatane minus 1, 4 og 3 og punktet P med koordinatane minus 5, 2 og 2 er teikna i eit tredimensjonalt koordinatsystem. Vektoren mellom A og B er teikna inn og har koordinatane minus 5, 2 og 2. Vektoren mellom origo og punktet P er også teikna inn og har dei same koordinatane som vektoren mellom A og B. Illustrasjon. — Døme på vektorar i tre dimensjonar

Merk at når vi bruker ein liten bokstav på namnet slik som i den første av dei to kommandoane, lagar GeoGebra automatisk ein vektor. Bruker vi stor bokstav, lagar GeoGebra eit punkt.

Vektorar uttrykte ved hjelp av einingsvektorane

I R1 uttrykker vi vektorar i to dimensjonar ved hjelp av einingsvektorane slik:

$\vec{a} = [2, 3] = 2 \cdot \vec{e_{x}} + 3 \cdot \vec{e_{y}}$

Her er $\vec{e_{x}} = [1, 0]$ og $\vec{e_{y}} = [0, 1]$ einingsvektorane i høvesvis $x$ - og $y$ -retning.

Einingsvektorar i tre dimensjonar

I et tredimensjonalt koordinatsystem må einingsvektorane ha 3 koordinatar. I tillegg må vi ha ein tredje einingsvektor for $z$ -retninga. Lengda på vektorane skal framleis vere 1.

Skriv opp namn og koordinatar til dei tre einingsvektorane i tre dimensjonar.

Einingsvektorane i tre dimensjonar

$\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} & = & [1, 0, 0] \\ \vec{e_{y}} & = & [0, 1, 0] \\ \vec{e_{z}} & = & [0, 0, 1] \end{array}$

Skalarproduktet

Hugsar du definisjonen på skalarproduktet mellom to vektorar $\vec{a}$ og $\vec{b}$ når vinkelen mellom vektorane er $α$ ?

Definisjon på skalarproduktet

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos α$

Denne definisjonen gjeld anten vektorane er i to eller tre dimensjonar. Hugs at $|\vec{a}|$ betyr lengda av $\vec{a}$ .

Skalarproduktet på koordinatform i to dimensjonar

Skalarproduktet mellom vektorane $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}]$ på koordinatform er

$\vec{a} \cdot \vec{b} = [x_{1}, y_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}] = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}$

Skalarproduktet på koordinatform i tre dimensjonar

Kva trur du skalarproduktet mellom vektorane $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ på koordinatform blir? Gå til oppgåve 4.1.16 for å utforske dette.

Skalarproduktet på koordinatform i tre dimensjonar

Skalarproduktet blir rekna ut på tilsvarande måte i tre dimensjonar som i to dimensjonar.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}, z_{2}] = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} + z_{1} \cdot z_{2}$

Lengda av ein vektor

Lengda av $\vec{a} = [x, y]$ , $|\vec{a}|$ , er

$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Kva trur du formelen for lengda av $\vec{a} = [x, y, z]$ er? Gå til oppgåve 4.1.17 a), b) og c) for å utforske dette før du ser på fasiten nedanfor.

Lengda av ein vektor i tre dimensjonar

$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Tenk over

Kvifor kallar vi vektorane $\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}}, \vec{e_{y}} \end{array}$ og $\begin{array}{rcl} \vec{e_{z}} \end{array}$ einingsvektorar?

Om einingsvektorane

Lengda på einingsvektorane er 1. Kontroller at det stemmer.

Oppsummering

Vektoren mellom to punkt A og B

Gitt $A = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og $B = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ . Da er

$\vec{A B} = [x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}]$

Posisjonsvektoren til eit punkt P

Gitt $P = (x, y, z)$ . Då er posisjonsvektoren $\vec{O P}$ til punktet

$\vec{O P} = [x, y, z]$

Skalarproduktet mellom to vektorar

Skalarproduktet mellom vektorane $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos α$

Skalarproduktet på koordinatform

Dersom $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ , får vi at

$\vec{a} \cdot \vec{b} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}, z_{2}] = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} + z_{1} \cdot z_{2}$

Lengda av ein vektor

Dersom $\vec{a} = [x, y, z]$ , blir lengda av vektoren

$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Vektorar i rommet

Vektoren mellom to punkt

I to dimensjonar

I tre dimensjonar

Teikning av vektorar i tre dimensjonar

Posisjonsvektoren

Vektorar uttrykte ved hjelp av einingsvektorane

Einingsvektorar i tre dimensjonar

Skalarproduktet

Skalarproduktet på koordinatform i to dimensjonar

Skalarproduktet på koordinatform i tre dimensjonar

Lengda av ein vektor

Tenk over

Oppsummering

Vektoren mellom to punkt A og B

Posisjonsvektoren til eit punkt P

Skalarproduktet mellom to vektorar

Skalarproduktet på koordinatform

Lengda av ein vektor