Induksjonsbevis - Matematikk R2 - NDLA

Hopp til innhald
Oppgåve

Induksjonsbevis

Her kan du jobbe med induksjonsbevis.

1.3.10

Bruk induksjon til å vise at summen, , av dei første oddetala er

Løysing

Trinn 1

VS:

HS:

er sann.

Trinn 2

Vi antek .

Vi undersøker om :

VS:

HS:

Vi har no vist at .

Konklusjon

Vi har vist ved induksjon at er sann for alle .

1.3.11

Vi har gitt ei geometrisk rekke der og .

Vis ved induksjon at .

Løysing

Trinn 1

Påstanden held for

Trinn 2

Vi går ut frå at .

Vi har at

Då skal vi ha at


Konklusjon

Vi har bevist ved induksjon at for alle .

1.3.12

Vis ved induksjon at summen av ei aritmetisk rekke er .

Løysing

Vi har at .

Dette gir at påstanden vi skal vise, er

Trinn 1

VS:

HS:

Vi ser at held.

Trinn 2

Vi antek .

Då må vi vise

VS:

Vi har at .

HS:

Vi har òg at .

Dei to sidene er like, og det betyr at .

Konklusjon

Vi har no bevist for alle ved induksjon.

1.3.13

Vis ved induksjon at summen, , av ei geometrisk rekke er .

Løysing

Vi har at .

Trinn 1

VS:

HS:

er sann.

Trinn 2

Vi antek . Vi undersøker om :

(Legg merke til at vi her bruker i staden for i trinn 2 for å unngå å blande med konstanten i den geometriske rekka.)

Vi har då

Utrekning:

Då har vi bevist at .

Konklusjon

Sidan både trinn 1 og trinn 2 er oppfylte, har vi bevist at held for alle .

1.3.14

Finn ein formel for summen av dei første partala, og bevis ved induksjon at formelen er rett.

Løysing

Vi finn først formelen.

Vi kan sjå på summen av partala som ei aritmetisk rekke der

og

Vi bruker formelen for sum av aritmetisk rekke:

Induksjonsbeviset:

Vi skal bevise påstanden

Trinn 1

VS:

HS:

held.

Trinn 2

Vi antek og undersøker .

Vi ser at .

Konklusjon

Vi har bevist ved induksjon at summen av dei første partala er gitt ved formelen .



Skrive av Tove Annette Holter, Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist fagleg oppdatert 03/31/2022